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(本題滿分15分)

已知函數(shù)f (x)=x ²+ax ，且對任意的實數(shù)x都有f (1+x)=f (1－x) 成立.

（1）求實數(shù) a的值；

（2）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù). w.

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(本題滿分15分)已知a∈R，函數(shù)f (x) =x³ + ax² + 2ax (x∈R)．     （Ⅰ）當(dāng)a = 1時，求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間；      （Ⅱ）函數(shù)f (x) 能否在R上單調(diào)遞減，若是，求出a的取值范圍；若不能，請說明理由；  （Ⅲ）若函數(shù)f (x)在[-1，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

解答

D

D

A

B

D

C

C

B

D

D

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分

11．   負                                        12．　　　　　　　    　

13．    7                                        14．                     　      

15．   4010                                    16．                         

17．若他不放棄這5道題，則這5道題得分的期望為：                                                                           

三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

18．解：（Ⅰ）①，②，③，④處的數(shù)值分別為：3，0.025，0.100，１．…………4分

（Ⅱ）

            …………………………………………………………………………8分

（Ⅲ）（?）120分及以上的學(xué)生數(shù)為：（0.275+0.100+0.050）×5000=2125;

（?）平均分為:

（?）成績落在［126，150］中的概率為:

…………………………………………………………………………14分

19．解：(Ⅰ) 由三視圖可知，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，

側(cè)棱底面，且.                           

∴，

即四棱錐的體積為.             ………………………………4分

(Ⅱ) 不論點在何位置，都有.                            

證明如下：連結(jié)，∵是正方形，∴.          

∵底面，且平面，∴.        

又∵，∴平面.                        

∵不論點在何位置，都有平面. 

∴不論點在何位置，都有.        ………………………………8分

(Ⅲ) 解法1：在平面內(nèi)過點作于，連結(jié).

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

從而△≌△，∴.

∴為二面角的平面角.                           

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

，             

∴，即二面角的大小為.  …………………14分

解法2：如圖，以點為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角

坐標系. 則，從而

，，，.

設(shè)平面和平面的法向量分別為

，，

由，取.   

由，取. 

設(shè)二面角的平面角為，

則，       

  ∴，即二面角的大小為.    …………………14分

20．解：（Ⅰ）令①

令　②

由①、②知，，又是上的單調(diào)函數(shù)，

．　　　　　………………………………………………………………………4分

（Ⅱ），

．

，

     …………………………………………………………………10分

（Ⅲ）令，則

         ……………………12分

對都成立

        …………………………………………………………………………………15分

21．解：（Ⅰ）設(shè)B（,）,C(,),BC中點為(),F(2,0).

則有.

兩式作差有

.

設(shè)直線BC的斜率為,則有

.  (1)

因F₂(2,0)為三角形重心，所以由，得

由得，

代入（1）得.

直線BC的方程為.      …………………………………………7分

 (Ⅱ)由AB⊥AC,得  （2）

設(shè)直線BC方程為，得

，

代入（2）式得,，

解得或

故直線過定點（0，．        …………………………………………14分

22．解：（Ⅰ）

.

當(dāng)時，

．從而有．…………………5分

（Ⅱ）設(shè)P，切線的傾斜角分別為，斜率分別為．則

．

由切線與軸圍成一個等腰三角形，且均為正數(shù)知，該三角形為鈍角三角形，

　或   ．又

．從而，．

…………………………………………………………………………………10分

（Ⅲ）令

；

．

．

又．

．

當(dāng)時，即時，曲線與曲線無公共點，故方程無實數(shù)根；

當(dāng)時，即時，曲線與曲線有且僅有1個公共點，故方程有且僅有1個實數(shù)根；

當(dāng)時，即時，曲線與曲線有2個交點，故方程有2個實數(shù)根．         …………………………………………………………………15分