題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）已知四棱錐P—ABCD的三視圖如右圖所示，
其中正（主）視圖與側（左）視為直角三角形，俯視圖為正方形。
（1）求四棱錐P—ABCD的體積；
（2）若E是側棱
上的動點。問：不論點E在PA的
任何位置上，是否都有
？
請證明你的結論？
（3）求二面角D—PA—B的余弦值。
（1）求四棱錐P—ABCD的體積；
（2）若E是側棱
上的動點。問：不論點E在PA的
？（本小題滿分14分）
已知一個四棱錐P－ABCD的三視圖如下，E是側棱PC上的動點。
（1）求四棱錐P－ABCD的體積；
（2）是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結論;
（3）若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大小．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解答
D
D
A
B
D
C
C
B
D
D
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分
11． 負
12． 
13． 7 14． 
15． 4010
16． 
17．若他不放棄這5道題，則這5道題得分的期望為：
三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
18．解：（Ⅰ）①，②，③，④處的數值分別為：3，0.025，0.100，１．…………4分
（Ⅱ）
…………………………………………………………………………8分
（Ⅲ）（?）120分及以上的學生數為：（0.275+0.100+0.050）×5000=2125;
（?）平均分為:
（?）成績落在［126，150］中的概率為:
…………………………………………………………………………14分
19．解：(Ⅰ) 由三視圖可知，四棱錐
的底面是邊長為1的正方形，
側棱
底面
，且
.
∴
，
即四棱錐的體積為
.
………………………………4分
(Ⅱ) 不論點
在何位置，都有
.
證明如下：連結
，∵是正方形，∴
.
∵底面，且
平面，∴
.
又∵
，∴
平面
.
∵不論點在何位置，都有
平面.
∴不論點在何位置，都有. ………………………………8分
(Ⅲ) 解法1：在平面
內過點
作
于
，連結
.
∵
，
，
，
∴Rt△
≌Rt△
，
從而△
≌△
，∴
.
∴
為二面角
的平面角.
在Rt△中，
，
又
，在△
中，由余弦定理得
，
∴
，即二面角的大小為
. …………………14分
解法2：如圖，以點
為原點，
所在的直線分別為
軸建立空間直角
坐標系. 則
，從而
，
，
，
.
設平面和平面的法向量分別為
，
，
由
，取
.
由
，取
.
設二面角的平面角為
，
則
，
∴
，即二面角的大小為
. …………………14分
20．解：（Ⅰ）令
①
令
②
由①、②知，
，又
是
上的單調函數，
． ………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）
，
．
，
…………………………………………………………………10分
（Ⅲ）令
，則
……………………12分
對
都成立
…………………………………………………………………………………15分
21．解：（Ⅰ）設B（
,
）,C(
,
),BC中點為(
),F(2,0).
則有
.
兩式作差有
.
設直線BC的斜率為
,則有
. (1)
因F2(2,0)為三角形重心，所以由
，得
由
得
，
代入（1）得
.
直線BC的方程為
.
…………………………………………7分
(Ⅱ)由AB⊥AC,得
（2）
設直線BC方程為
，得
，
代入（2）式得,
，
解得
或
故直線
過定點（0，
． …………………………………………14分
22．解：（Ⅰ）
.
當
時，
．從而有
．…………………5分
（Ⅱ）設P
，切線
的傾斜角分別為
，斜率分別為
．則
．
由切線與
軸圍成一個等腰三角形，且均為正數知，該三角形為鈍角三角形，
或 
．又
．從而，
．
…………………………………………………………………………………10分
（Ⅲ）令
；
．
．
又
．
．
當
時，即
時，曲線
與曲線
無公共點，故方程
無實數根；
當
時，即
時，曲線與曲線有且僅有1個公共點，故方程有且僅有1個實數根；
當
時，即
時，曲線與曲線有2個交點，故方程有2個實數根．
…………………………………………………………………15分
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