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選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，點D是劣弧

BC

的中點，連接AD并延長，與過C點的切線交于P，OD與BC相交于點E．
（Ⅰ）求證：OE=

1

2

AC；
（Ⅱ）求證：

PD

PA

=

BD2

AC2

．

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選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，點D是劣弧的中點，連接AD并延長，與過C點的切線交于P，OD與BC相交于點E．
（Ⅰ）求證：OE=AC；
（Ⅱ）求證：=．

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1．A　2．B　3．D　4．C　5．B　6．D　7．C　8．A　9．B　10．C（文、理）　

11．B（文理）　12．C　13．-1　14．-2　15．①③④

16．①③④

　　17．設：該工人在第一季度完成任務的月數，：該工人在第一季度所得獎金數，則與的分布列如下：

　　∴　

　　　　　　．

　　答：該工人在第一季度里所得獎金的期望為153.75元．

　　18．（1）∵　　　∴　，且p＝1，或．

　　若是，且p＝1，則由．

　　∴　，矛盾．故不可能是：，且p＝1．由，得．

　　又，∴　．

　　（2）∵　，，

　　∴　．

　　．

　　當k≥2時，．　　∴　n≥3時有

　　　 ．

　　∴　對一切有：．

　　（3）∵　，

　　∴　．　　．

　　故．

　　∴　．

　　又．

　　∴　．

　　故　．

　　19．（甲）（1）∵　側面底面ABC，　　∴　在平面ABC上的射影是AC．

　　與底面ABC所成的角為∠．

　　∵　，，　∴　∠＝45°．

　　（2）作⊥AC于O，則⊥平面ABC，再作OE⊥AB于E，連結，則，所以∠就是側面與底面ABC所成二面角的平面角．

　　在Rt△中，，，

　　∴　．　　60°．

　　（3）設點C到側面的距離為x．

　　∵　，

　　∴　．（*）

　　∵　，，　　∴　．

　　又，∴　．

　　又．　∴　由（*）式，得．∴　

　　（乙）（1）證明：如圖，以O為原點建立空間直角坐標系．

　　設AE＝BF＝x，則（a，0，a），F（a-x，a，0），（0，a，a），E（a，x，0），

　　∴　（-x，a，-a），

　　（a，x-a，-a）．

　　∵　，

　　∴　．

　　（2）解：記BF＝x，BE＝y，則x＋y＝a，則三棱錐的體積為

　　．

　　當且僅當時，等號成立，因此，三棱錐的體積取得最大值時，．

　　過B作BD⊥BF交EF于D，連結，則．

　　∴　∠是二面角的平面角．在Rt△BEF中，直角邊，BD是斜邊上的高，　　∴　

　　在Rt△中，tan∠．故二面角的大小為．

　　20．∵　k＝0不符合題意，　∴　k≠0，作直線：

　　，則．

　　∴　滿足條件的

　　由消去x，得

　　，

　　．．（*）

　　設，、、，則　．

　　又．

　　∴　．

　　故AB的中點，．　∵　l過E，　∴　，即　．

　　代入（*）式，得

　　21．（1）．當x≥2時，

　　　　 ．

　　∴　，且．

　　∵　．

　　∴　當x＝12-x，即x＝6時，（萬件）．故6月份該商品的需求量最大，最大需求量為萬件．

　　（2）依題意，對一切{1，2，…，12}有．

　　∴　（x＝1，2，…，12）．

　　∵　

　　∴　．　故　p≥1.14．故每個月至少投放1.14萬件，可以保證每個月都保證供應．

　　22．（1）按題意，得．

　　∴　　即　．

　　又

　　∴　關于x的方程．

　　在（2，＋∞）內有二不等實根x＝、．關于x的二次方程

在（2，＋∞）內有二異根、．

　　．

　　故　．

　　（2）令，則

．

　　∴　．

　　（3）∵　，

　　∴　

　　　　　　　．

　　∵　，　　∴　當（，4）時，；當（4，）是．

　　又在[，]上連接，

　　∴　在[，4]上遞增，在[4，]上遞減．

　　故　．

　　∵　，

　　∴　0＜9a＜1．故M＞0．　若M≥1，則．

　　∴　，矛盾．故0＜M＜1．