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如圖，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，A A₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁，BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且

（1）證明：無論入取何值，總有AM⊥PN；

（2）當入取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？

并求該角取最大值時的正切值。

（3）是否存在點P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面

角為30º，若存在，試確定點P的位置，若不存在，請說明理由。

如圖，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁，BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且

（1）證明：無論入取何值，總有AM⊥PN；

（2）當入取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時的正切值。

（3）是否存在點P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º，若存在，試確定點P的位置，若不存在，說明理由。

（本小題滿分12分）由世界自然基金會發起的“地球1小時”活動，已發展成為最有影響力的環保活動之一，今年的參與人數再創新高.然而也有部分公眾對該活動的實際效果與負面影響提出了疑問.對此，某新聞媒體進行了網上調查，所有參與調查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態度的人數如下表所示：

（Ⅰ）在所有參與調查的人中，用分層抽樣的方法抽取個人，已知從“支持”態度的人中抽取了45人，求的值；
（Ⅱ）在持“不支持”態度的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看成一個總體，從這5人中任意選取2人，求至少有人20歲以下的概率；

（本小題滿分12分）由世界自然基金會發起的“地球1小時”活動，已發展成為最有影響力的環保活動之一，今年的參與人數再創新高.然而也有部分公眾對該活動的實際效果與負面影響提出了疑問.對此，某新聞媒體進行了網上調查，所有參與調查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態度的人數如下表所示：

（Ⅰ）在所有參與調查的人中，用分層抽樣的方法抽取個人，已知從“支持”態度的人中抽取了45人，求的值；

（Ⅱ）在持 “不支持”態度的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看成一個總體，從這5人中任意選取2人，求至少有人20歲以下的概率；

（本小題滿分12分）

由世界自然基金會發起的“地球1小時”活動，已發展成為最有影響力的環保活動之一，今年的參與人數再創新高.然而也有部分公眾對該活動的實際效果與負面影響提出了疑問.對此，某新聞媒體進行了網上調查，所有參與調查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態度的人數如下表所示：

（Ⅰ）在所有參與調查的人中，用分層抽樣的方法抽取個人，已知從“支持”態度的人中抽取了45人，求的值；

（Ⅱ）在持“不支持”態度的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看成一個總體，從這5人中任意選取2人，求至少有人20歲以下的概率；