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（2013•南開區二模）在某校組織的一次籃球定點投籃測試中，規定每人最多投3次．每次投籃的結果相互獨立．在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分，否則得0分．將學生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就認為通過測試，立即停止投籃，否則繼續投籃，直到投完三次為止．投籃的方案有以下兩種：方案1：先在A處投一球，以后都在B處投：方案2：都在B處投籃．甲同學在A處投籃的命中率為0.5，在B處投籃的命中率為0.8．
（1）當甲同學選擇方案1時．
①求甲同學測試結束后所得總分等于4的概率：
②求甲同學測試結束后所得總分ξ的分布列和數學期望Eξ；
（2）你認為甲同學選擇哪種方案通過測試的可能性更大？說明理由．

（2008•海珠區一模）已知拋物線D的頂點是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
（1）求拋物線D的方程；
（2）已知動直線l過點P（4，0），交拋物線D于A、B兩點，坐標原點O為PQ中點，求證：∠AQP=∠BQP；
（3）是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

（2013•茂名一模）已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1   (a＞b＞0)過點A(0，

2

)且它的離心率為

3

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）已知動直線l過點Q（4，0），交軌跡C₂于R、S兩點．是否存在垂直于x軸的直線m被以RQ為直徑的圓O₁所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

（2013•崇明縣二模）某工廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平等因素的限制，會產生較多次品，根據經驗知道，次品數p（萬件）與日產量x（萬件）之間滿足關系：p=

x2 6 ，(1≤x＜4) x+ 3 x - 25 12 ，(x≥4)

．已知每生產l萬件合格的元件可以盈利20萬元，但每產生l萬件次品將虧損10萬元．（實際利潤=合格產品的盈利-生產次品的虧損）
（1）試將該工廠每天生產這種元件所獲得的實際利潤T（萬元） 表示為日產量x（萬件）的函數；
（2）當工廠將這種儀器的元件的日產量x（萬件） 定為多少時獲得的利潤最大，最大利潤為多少？

（2008•普陀區一模）定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．
已知無窮等比數列{a_n}的首項、公比均為

1

2

．
（1）試求無窮等比子數列{a_3k-1}（k∈N^*）各項的和；
（2）是否存在數列{a_n}的一個無窮等比子數列，使得它各項的和為

1

7

？若存在，求出滿足條件的子數列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設計一個數學問題，研究：是否存在數列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．