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（本小題滿分12分）

如圖所示，在正三棱柱中，底面邊長為，側棱長為，是棱的中點.

(Ⅰ)求證:平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；[來源:學科網(wǎng)ZXXK]

（Ⅲ）求點到平面的距離.

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一. 選擇題 : （本大題共10小題, 每小題5分, 共50分）

ABDCC   DDBCB

二．填空題: （本大題共5小題, 每小題5分, 共25分）

11．1680     12.5     13.-1     14.     15.

三. 解答題: （本大題共6小題,  共75分）

16.（本小題滿分12分）

解：（1）f(x)．．．．．．3分

……4分

令　

的單調(diào)區(qū)間為,k∈Z　　　．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由得．．．．．．7分

又為的內(nèi)角 ．．．．．9分

　　　　　　．．．．．．．11分

　　．．．．．．12分

17.（本小題滿分12分）

解：（1）．．．．．．．5分

．．．．．．．12分

18．（本題滿分12分）

解法一：

（1）在棱取三等分點,使,則,由⊥平面,

得⊥平面。過點作于，連結，

則，為所求二面角的平面角.

在中，，

，

所以，二面角的余弦值為．．．．．．6分

（2）因為，所以點到平面的距離等于

到平面的距離，⊥平面，

過點作于，連結，則，

⊥平面，過點作于，

則，為所求距離，

所以，求點到平面的距離為．．．．．．12分

解法二：

證明：（1）建立如圖所示的直角坐標系，

則A（0，0，0）、D（0，3，0）、P（0，0，3）、

B(4，0，0)、C(4，3，0), 由已知得，

得.

設平面QAC的法向量為，則，

即∴，令,得到平面QAC的一個法向量為

∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.             

設二面角P―CD―B的大小為q，依題意可得．．．．．6分

（2）由（1）得

設平面PBD的法向量為，則，

即，∴令，得到平面QAC的一個為法向量為

 ∵，∴C到面PBD的距離為 ．．．．．12分

19. （本小題滿分13分）

（1）解：當時,,………………………………①

則當, 時,………………②

①－②，得，即

∴，∴，當時，，則.

∴是以為首項,為公比的等比數(shù)列,∴,

∴………………………6分

（2）證明:.

∴, 則,…………③

…………………………④

③－④，得

∴.

當時,, ∴為遞增數(shù)列,

 ∴.．．．．．．．13分

20．(本小題滿分13分)

解法一：

(1)設橢圓方程為(a>b>0)，由已知c=1，

又2a= .

所以a=,b²=a²-c²=1，

橢圓C的方程是x²+ =1. ．．．．．．．4分

(2)若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1,

若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+)²+y²=．

由解得即兩圓相切于點(1，０)．

因此所求的點T如果存在，只能是(1，0)． 事實上，點T(1，０)就是所求的點．．．．．．．．6分

證明如下：

當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T(1，0)．

若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=k(x+)．

由即(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.記點A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則

由=(x₁-1, y₁), =(x₂-1, y₂), =(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+k²+1=(k²+1) +(k²-1) + +1=0，

所以TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點T(1,0).故在坐標平面上存在一個定點T(1,0)滿足條件．．．．．．．13分

解法二：

(1)由已知c=1，設橢圓C的方程是(a>1)．

因為點P在橢圓C上，所以,解得a²=2，所以橢圓C的方程是：.

．．．．．．．4分

(2)假設存在定點T(u，v)滿足條件．同解法一得(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.

記點A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),則

又因為=(x₁-u, y₁-v), =(x₂-u, y₂-v),及y₁=k(x₁+),y₂=k(x₂+)．

所以=(x₁-u)(x₂-u)+(y₁-v)(y₂-v)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-u-kv)(x₁+x₂)+k²-v+u²+v²

=

當且僅當?=０恒成立時，以AB為直徑的圓恒過點T.

?=０恒成立等價于解得u=1,v=0.

此時，以AB為直徑的圓恒過定點T(1，０)． 當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓亦過點T(1，０)．所以在坐標平面上存在一個定點T(1，O)滿足條件

．．．．．．．．13分

解法三：

(1)同解法一或解法二．．．．．．．．4分

(2)設坐標平面上存在一個定點T滿足條件，根據(jù)直線過x軸上的定點S及橢圓的對稱性，所求的點T如果存在，只能在x軸上，設T(t，O)．

 同解法一得=(x₁-t,y₁),=(x₂-t,y₂)

=(x₁-t)(x₂-t)+y₁y₂=(x₁-t)(x₂-t)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-t)(x₁+x₂)+k²+t²=

當且僅當?=O恒成立時，以AB為直徑的圓恒過點T.

?=O恒成立等價于解得t=1.所以當t=1時,以AB為直徑的圓恒過點T.

當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓亦過點T(1，O)．

   所以在坐標平面上存在一個定點T(1，O)滿足條件．．．．．．．．13分

21. (本小題滿分13分)

解：（1）由題意               …………………………1分

當時，取得極值，  所以

      即      …………………3分

    此時當時，，當時，，

    是函數(shù)的最小值。          ………………………5分

（2）設，則  ，……8分

     設，

      ，令解得或

       列表如下：

__

0

+

函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。

當時，有極大值；當時,有極小值……10分

函數(shù)與的圖象有兩個公共點，函數(shù)與的圖象有兩個公共點

         或       ……13分