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進位制是人們為了計數和運算方便而約定的記數系統.約定滿二進一,就是二進制;滿十進一,就是十進制,等等.即“滿幾進一”就是幾進制,幾進制的基數就是幾.因此k進制需要使用k個數字.

若a_na_n-1…a₁a₀(k)表示一個k進制數,寫成各位上數字與k的冪的乘積之和的形式為a_na_n-1…a₁a₀(k)=a_n×kⁿ+a_n-1×k^n-1+…+a₂×k²+a₁×k+a₀.

因此,只要計算出上式等號右邊的值,就得到了相應的十進制數.請運用你學過的算法知識來寫出這個問題的解決辦法.

對于任意的兩個實數對和，規定：

，當且僅當時成立

運算“”為：，

運算“”為： 。

現設，若，則=        。

若是正常數，，，則，當且僅當時上式

取等號. 利用以上結論，可以得到函數（）的最小值為   ．

 

我們將具有下列性質的所有函數組成集合M：函數，對任意均滿足，當且僅當時等號成立。

（1）若定義在(0，＋∞)上的函數∈M，試比較與大小.

（2）設函數g(x)＝－x²，求證：g(x)∈M.

已知函數f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數f(x)的圖像上去定點A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當時單調遞減；當時單調遞增，故當時，取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當.　　　　　　　　①

令則

當時，單調遞增；當時，單調遞減.

故當時，取最大值.因此，當且僅當時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當時，單調遞減；當時，單調遞增.故當，即

從而，又

所以因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題，通過構造函數，研究這個函數的性質進行分析判斷.