題目列表(包括答案和解析)
在
中，角
的對邊分別為
，
。
（1）求
的值；
（2）求的面積.
【解析】本試題主要是考查了解三角形中正弦定理和三角形面積公式的運用。
（本小題滿分12分）
設函數f(x)=ax+
(a,b∈Z)，曲線y=f(x)在點（2，f(2)）處的切線方程為y=3。
（Ⅰ）求f(x)的解析式：
（Ⅱ）證明：函數y=f(x)的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；
（Ⅲ）證明：曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值。
（本小題滿分12分）
如圖，在棱長為1的正方體
中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥
，截面PQGH∥
．
（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，
并求出這個值；
（Ⅲ）若
與平面PQEF所成的角為
，求與平
面PQGH所成角的正弦值．
（本小題共14分）
已知橢圓的中點在原點O，焦點在x軸上，點
是其左頂點，點C在橢圓上且
（I）求橢圓的方程；
（II）若平行于CO的直線
和橢圓交于M，N兩個不同點，求
面積的最大值，并求此時直線的方程.
（本小題滿分12分）如圖，在棱長為1的正方體
中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥
，截面PQGH∥
．
（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，
并求出這個值；
（Ⅲ）若
，求
與平面PQEF所成角的正弦值．
一、 選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分40分.
（1）D （2）C （3）A （4）A （5）B （6）D （7）C （8）B
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分30分.
（9）
（10）
（11）（0，1），
（12）
（13）大 -3
（14）3 52
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（15）本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，考查運算能力.滿分14分.
解法一：
又
,
.
解法二：
（1）
,
. （2）
（1）+（2）得：
.
（1）－（2）得：
.
.
（以下同解法一）
（16）本小題主要考查直線與平面的位置關系、棱柱等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.滿分14分.
解：（I）正三棱柱
的側面展開圖是長為6，寬為2的矩形
其對角線長為
.
（II）如圖，將側面
繞棱
旋轉
使其與側面
在同一平面上，點B運動到點D的位置，連接
交于M，則就是由頂點B沿棱柱側面經過棱到頂點C1的最短路線，其長為
.
，
,
故
.
（III）連接DB，
，則DB就是平面
與平面ABC的交線
在
中,
又
,
由三垂線定理得
.
就是平面與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）,
側面
是正方形,
.
故平面與平面ABC所成的二面角（銳角）為
.
（17）本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
解：（I）由已知條件，可設拋物線的方程為
.
點P（1，2）在拋物線上,
，得
.
故所求拋物線的方程是
,
準線方程是
.
（II）設直線PA的斜率為
，直線PB的斜率為
,
則
，
.
PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,
.
由A（
），B（
）在拋物線上，得
,（1）
,
（2）
由（1）－（2）得直線AB的斜率
（18）本小題主要考查函數、數列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
解：（I）由
，得
.
由
及
，得
.
同理，
.
歸納得
（II）當
時，
,
,
,
.
所以
是首項為
，公比為
的等比數列.
所以
.
（19）本小題主要考查解不等式等基本知識，考查應用數學知識分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
解：（I）列車在B，C兩站的運行誤差（單位：分鐘）分別是
和
（II）由于列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，所以
（*）
當
時，（*）式變形為
,
解得
;
當
時，（*）式變形為
,
解得;
當
時，（*）式變形為
,
解得
綜上所述，
的取值范圍是[39，
].
（20）本小題主要考查不等式的證明等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
解：（I）
.除第N組外的每組至少含有
個數.
（II）當第n組形成后，因為
，所以還有數沒分完，這時余下的每個數必大于余差
，余下數之和也大于第n組的余差，即
,
由此可得
.
因為
，所以
.
（III）用反證法證明結論，假設
，即第11組形成后，還有數沒分完，由（I）和（II）可知，余下的每個數都大于第11組的余差
，且
,
故余下的每個數
. （*）
因為第11組數中至少含有3個數，所以第11組數之和大于
,
此時第11組的余差
,
這與（*）式中
矛盾，所以
.
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