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將所有平面向量組成的集合記作R²，f是從R²到R²的映射，記作

y

=f(

x

)或（y₁，y₂）=f（x₁，x₂），其中x₁，x₂，y₁，y₂都是實數．定義映射f的模為：在|

x

|=1的條件下|

y

|的最大值，記做||f||．若存在非零向量

x

∈R²，及實數λ使得f（

x

）=λ

x

，則稱λ為f的一個特征值．
（1）若f（x₁，x₂）=（

1

2

x₁，x₂），求||f||；
（2）如果f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂），計算f的特征值，并求相應的

x

；
（3）若f（x₁，x₂）=（a₁x₁+a₂x₂，b₁x₁+b₂x₂），要使f有唯一的特征值，實數a₁，a₂，b₁，b₂應滿足什么條件？試找出一個映射f，滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并驗證f滿足這兩個條件．

將所有平面向量組成的集合記作R²，f是從R²到R²的映射，記作

y

=f(

x

)或（y₁，y₂）=f（x₁，x₂），其中x₁，x₂，y₁，y₂都是實數．定義映射f的模為：在|

x

|=1的條件下|

y

|的最大值，記做||f||．若存在非零向量

x

∈R²，及實數λ使得f（

x

）=λ

x

，則稱λ為f的一個特征值．
（1）若f（x₁，x₂）=（

1

2

x₁，x₂），求||f||；
（2）如果f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂），計算f的特征值，并求相應的

x

；
（3）若f（x₁，x₂）=（a₁x₁+a₂x₂，b₁x₁+b₂x₂），要使f有唯一的特征值，實數a₁，a₂，b₁，b₂應滿足什么條件？試找出一個映射f，滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并驗證f滿足這兩個條件．