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(本小題滿分12分) 如圖, 正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為6, 動點M在棱A₁B₁上. (1) 當M為A₁B₁的中點時, 求CM與平面DC₁所成角的正弦值;

 (2) 當A₁M＝A₁B₁時, 求點C到平面D₁DM的距離.

設A是由m×n個實數組成的m行n列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于1，且所有數的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數表構成的集合。

對于A∈S(m,n),記r_i(A)為A的第ⅰ行各數之和（1≤ⅰ≤m），C_j(A)為A的第j列各數之和（1≤j≤n）：

記K(A)為∣r₁(A)∣,∣R₂(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C₁(A)∣,∣C₂(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

（1）   對如下數表A，求K（A）的值；

（2）設數表A∈S（2,3）形如

求K（A）的最大值；

（3）給定正整數t，對于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。

【解析】（1）因為，

所以

（2）  不妨設.由題意得.又因為，所以，

于是，，

所以，當，且時，取得最大值1。

（3）對于給定的正整數t，任給數表如下，

任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每一個數換成它的相反數，所得數表

，并且，因此，不妨設，

且。

由得定義知，，

又因為

所以

所以，

對數表：

則且，

綜上，對于所有的，的最大值為

已知，設和是方程的兩個根，不等式對任意實數恒成立；函數有兩個不同的零點.求使“P且Q”為真命題的實數的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了命題和函數零點的運用。由題設x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當a∈[1,2]時，的最小值為3. 當a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真即可。

解：由題設x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

綜上，要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真，即

解得實數m的取值范圍是(4,8]