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設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②函數的導數滿足.”

（1）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；

（2）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意，都存在，使得等式成立”，試用這一性質證明：方程只有一個實數根；

（3）設是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的，當，且時，.

①方程f(x)-x=0有實數根；②函數f(x)的導函數f′(x)滿足0＜f′(x)＜1.

（1）判斷函數f(x)=x+sinx是否是集合M中的元素，并說明理由；

（2）集合M中的元素f(x)具有下列性質：

若f(x)的定義域為I，則對于任意［m,n］I都存在x₀∈［m,n］,使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x₀)成立.

    請利用這一性質證明：方程f(x)-x=0有唯一的實數根；

（3）若存在實數x₁,使得m中元素f(x)定義域中的任意實數a、b都有|a-x₁|＜1和|b-x₁|＜1成立.證明：|f(b)-f(a)|＜2

集合A是由適合以下性質的函數構成的：對于定義域內任意兩個不相等的實數，都有.

（1）試判斷=及是否在集合A中，并說明理由；

（2）設?A且定義域為?0，??，值域為?0，1?，，試寫出一個滿足以上條件的函數的解析式，并給予證明.