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給出以下5個命題：
①曲線x²-（y-1）²=1按平移可得曲線（x+1）²-（y-3）²=1；
②設A、B為兩個定點，n為常數，，則動點P的軌跡為雙曲線；
③若橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是該橢圓上的任意一點，延長F₁P到點M，使|F₂P|=|PM|，則點M的軌跡是圓；
④A、B是平面內兩定點，平面內一動點P滿足向量與夾角為銳角θ，且滿足 ，則點P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點）；
⑤已知正四面體A-BCD，動點P在△ABC內，且點P到平面BCD的距離與點P到點A的距離相等，則動點P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號為    ．

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選擇題（60分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D．

A

C

A

B

B

A

C

A

C

B

填空題（16分）

13    14    15    16  8

17解：（1）由已知得，      ………………6分

（2）………10分

     =- ………12分

18解：（Ⅰ）（法一）f(x)的定義域為R。

       ，

所以f(x)在上單調遞增，在上單調遞減。……4分 

所以f(x)值域為……6分

（法二）……4分

所以f(x)的值域是………6分

（法三）由絕對值的幾何意義知f(x)=表示數軸上點P（x）到點M(2)與點N(-2)距離之和．……4分

所以f(x)的值域是．……6分

（Ⅱ）原不等式等價于：

      ①或②或③……11分

所以原不等式解集為……12分

19 解:設，由題意知，  ……6分

又

所以雙曲線方程為  ……10分

所以雙曲線的漸近線方程為 ……12分

20解：（Ⅰ）由題意知方程的兩根是

      ……4分

(Ⅱ)

在[-1，2]上恒成立，………6分

令

……8分

當x在[-1,2]上變化時，的變化情況如下：

x

-1

1

（1，2）

2

+

-

+

g(x)

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

2

所以當x=2時，,

所以c的取值范圍為……12分

21解：（1）當n=1時，,當時，由得所以…………4分

所以數列是首項為3，公差為1的等差數列，

所以數列的通項公式為…………6分

       （2）

22解 :（Ⅰ）由題設a=2,c=1從而所以橢圓的方程為: ………5分

（Ⅱ）由題意得F（1，0），N（4，0），設A（m,n）

則B（m,-n）( ①

設動點M（x,y）．AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0  ②   n(x-4)+(m-4)y=0 ③

由②③得：當時， 代入①得

當時，由②③得：，解得n=0,y=0與矛盾,所以的軌跡方程為。…………9分

（Ⅲ）△AMN的面積為△AFN與△MFN面積之和，且有相同的底邊FN，當兩高之和最大時，面積最大，這時AM應為特殊位置，所以猜想：當AM與x軸垂直時，△AMN的面積最大，|AM|=3，|FN|=3，這時,△AMN的面積最大最大值為………11分。

證明如下：設AM的方程為x=ty+1,代入得

設A，則有

令，則

因為，所以，即時有最大值3，△AMN的面積有最大值。……13分