題目列表(包括答案和解析)
在數列
中，
，當
時，
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設
，求數列
的前
項和
.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求和 綜合運用。第一問中 ，利用，得到
且
，故故
為以1為首項，公差為2的等差數列. 從而
第二問中，
由及知
，從而可得且
故為以1為首項，公差為2的等差數列.
從而 ……………………6分
（2）
……………………9分
數列
中，
，前
項和
滿足
（Ⅰ）求數列的通項公式
以及前項和；
（Ⅱ）若
成等差數列，求實數
的值。
數列
中，
，前
項和
滿足
。
（Ⅰ）求數列的通項公式，以及前項和；
（Ⅱ）若
，
，
成等差數列，求實數
的值。
已知數列
的首項
，前
項和
．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設
，
，
為數列
的前項和，求證：
．
【解析】本試題主要是考查了數列的前n項和與通項公式之間關系的運用。以及數列的前n項和的運用。
(14分)等比數列
中，已知
，
（1）求數列的通項公式
；
（2）如果
是等差數列
的第3項和第5項，求數列的通項公式
和前n項和
以及的最小值；
（3）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1～5 D A B D C 6～
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13.
； 14.21 ；
15.
； 16.
.
三、解答題（本大題共6小題，共74分）
17.（本題滿分13分）
解：(1)甲、乙兩衛星各自預報一次，記“甲預報準確”為事件A，“乙預報準確”為事件B.則兩衛星只有一顆衛星預報準確的概率為：
… 4分
= 0.8×(1 - 0.75) + (1 - 08)×0.75 = 0.35 …………6分
答：甲、乙兩衛星中只有一顆衛星預報準確的概率為0.35 ………7分
(2) 甲獨立預報3次，至少有2次預報準確的概率為
…………10分
＝
＝0.896
………………………12分
答：甲獨立預報3次，至少有2次預報準確的概率為0.896. ……… 13分
18.（本題滿分13分）
解：(1)∵
…………………2分
＝
＝
……………6分
∴函數
的最小正周期
…………………7分
又由
可得：
的單調遞增區間形如：
……9分
(2) ∵
時，
，
∴
的取值范圍是
………………11分
∴函數的最大值是3，最小值是0
從而函數的是
…………13分
19.（本題滿分12分）
解：(1) ∵
∴由已知條件可得：
，并且
，
解之得：
，
……………3分
從而其首項
和公比
滿足：
………5分
故數列
的通項公式為：
……6分
(2) ∵
數列
是等差數列，
…………………………8分
∴
＝
＝
=
…………………10分
由于
，當且僅當
最大時，
最大.
所以當最大時，
或6 …………………………12分
20.（本題滿分12分）
解：(1) ∵
為奇函數 ∴
………2分
∵
，導函數
的最小值為-12 ∴
……3分
又∵直線
的斜率為
，
并且
的圖象在點P
處的切線與它垂直
∴
，即
∴
……………6分
(2) 由第(1)小題結果可得：
……………9分
令
，得
……………10分
∵
，
，
∴在
[-1, 3]的最大值為11，最小值為-16. ………12分
21.（本題滿分12分）
解：(1) ∵函數
有意義的充要條件為
，即是 
∴函數的定義域為
…………3分
∵函數
有意義的充要條件為：
∴函數的定義域為
…………5分
(2)∵由題目條件知
∴
，
…………………7分
∴c的取值范圍是：[－5, 5] …………………8分
(3) 
即是
∵是奇函數，∴
………………9分
又∵函數的定義域為
，并且是增函數
∴ 
………………11分
解之得
的取值范圍是：
=
…………12分
22.（本題滿分12分）
解：(1) 設雙曲線的漸近線方程為
，即
，
∵雙曲線的漸近線與已知的圓相切，圓心到漸近線的距離等于半徑
∴
∴雙曲線的漸近線的方程為：
……………2分
又設雙曲線的方程為：
，則
∵雙曲線的漸近線的方程為，且有一個焦點為
∴
，
………………4分
解之得：
，故雙曲線的方程是：
……………5分
(2) 聯立方程組
，消去
得：
（*）…………6分
∵直線與雙曲線C的左支交于兩點，方程（*）兩根
、
為負數，
∴
…………8分
又∵線段PQ的中點
坐標滿足
，
……9分
∴直線
的方程為：
，
即是
，
直線在軸的截距
……………………11分
又∵時，
的取值范圍是：
∴直線的截距
的取值范圍是
……12分
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