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已知函數f（x）=

x

1+x

（x＞0），設f（x）在點（n，f（n））（n∈N*）處的切線在y軸上的截距為b_n，數列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，an+1=f(an)(n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在數列{

bn

a 2 n

+

λ

an

}中，僅當n=5時，

bn

a 2 n

+

λ

an

取最小值，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）令函數g（x）=f（x）（1+x）²，數列{c_n}滿足：c₁=

1

2

，c_n+1=g（c_n）（n∈N*），求證：對于一切n≥2的正整數，都滿足：1＜

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

＜2．

設函數f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）求函數f（x）在[m，m+1]（m＞-1）上的最小值；
（3）若關于x的方程f（x）=x²+x+a在區間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，求實數a取值范圍．