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已知f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

 （n∈N^*），用數學歸納法證明不等式f（2ⁿ）＞

n

2

時，f（2^k+1）比f（2^k）多的項數是．

（2012•濟南三模）設函數f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f^′（x）表示f（x）導函數．
（I）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當k為偶數時，數列{a_n}滿足a₁=1，anf′(an)

=a

2 n+1

-3．證明：數列{

a

2 n

}中不存在成等差數列的三項；
（Ⅲ）當k為奇數時，設bn=

1

2

f′(n)-n，數列{b_n}的前n項和為S_n，證明不等式(1+bn)

1

bn+1

＞e對一切正整數n均成立，并比較S₂₀₁₂-1與ln2012的大小．

設f(x)=lnx-

x-a

x

(其中a＞0)，g(x)=2(x-1)-(x2+1)lnx．
（1）當x∈[1，+∞）時，判斷函數g（x）的單調性；
（2）已知f（x）和g（x）在[1，+∞）上單調性一致，求a的取值范圍；
（3）設b＞1，證明不等式

2

1+b2

＜

lnb

b-1

＜

1

b

．