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如果f（x）在某個區間I內滿足：對任意的x₁，x₂∈I，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，則稱f（x）在I上為下凸函數；已知函數f(x)=

1

x

-alnx．
（Ⅰ）證明：當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上為下凸函數；
（Ⅱ）若f'（x）為f（x）的導函數，且x∈[

1

2

，2]時，|f'（x）|＜1，求實數a的取值范圍．

如果函數y=f（x）的定義域為R，對于定義域內的任意x，存在實數a使得f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數具有“P（a）性質”．
（1）判斷函數y=sinx是否具有“P（a）性質”，若具有“P（a）性質”求出所有a的值；若不具有“P（a）性質”，請說明理由．
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性質”，且當x≤0時f（x）=（x+m）²，求y=f（x）在[0，1]上的最大值．
（3）設函數y=g（x）具有“P（±1）性質”，且當-

1

2

≤x≤

1

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時，g（x）=|x|．若y=g（x）與y=mx交點個數為2013個，求m的值．

如果f（x）在某個區間I內滿足：對任意的x₁，x₂∈I，都有

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[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

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)，則稱f（x）在I上為下凸函數；已知函數f(x)=

1

x

-alnx．
（Ⅰ）證明：當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上為下凸函數；
（Ⅱ）若f'（x）為f（x）的導函數，且x∈[

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，2]時，|f'（x）|＜1，求實數a的取值范圍．