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如圖，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，A A₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁，BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且

（1）證明：無論入取何值，總有AM⊥PN；

（2）當入取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？

并求該角取最大值時的正切值。

（3）是否存在點P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面

角為30º，若存在，試確定點P的位置，若不存在，請說明理由。

（08年周至二中二模理）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖) .

(1) 當x=2時，求證：BD⊥EG ；

(2) 若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；

(3) 當 f(x)取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值.

如圖，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，ABC=60^O，E，F分別是BC，PC的中點。H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為。

（1）   證明：AEPD；

（2）   求異面直線PB與AC所成的角的余弦值；

（3）   若AB=2，求三棱錐P—AEF的體積。