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有一幅橢圓型彗星軌道圖，長4 cm，高，如下圖，已知O為橢圓中心，A₁，A₂是長軸兩端點，太陽位于橢圓的左焦點F處．

(Ⅰ)建立適當的坐標系，寫出橢圓方程，并求出當彗星運行到太陽正上方時二者在圖上的距離；

(Ⅱ)直線l垂直于A₁A₂的延長線于D點，|OD|＝4，設P是l上異于D點的任意一點，直線A₁P，A₂P分別交橢圓于M、N(不同于A₁，A₂)兩點，問點A₂能否在以MN為直徑的圓上？試說明理由．

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一、選擇題（本大題共10小題，每題5分，共50分）

1．C         2．A        3．B        4．D           5．B

6．B         7．C        8．D        9．D          10．A

二、填空題（本大題共7小題，每題4分，共28分）

11．2        12．45        13．       14．

15．1        16．144       17．

三、解答題（本大題共5小題，第18―20題各14分，第21、22題各15分，共72分）

18．（1）因為（4分）

        所以

   （Ⅱ）由（I）得，

                         （10分）

         因為所以，所以（12分）

         因此，函數的值域為。（14分）

19．（I）因為，所以平面。 （3分）

又因為平面所以    ①（5分）

在中，，由余弦定理，

得

因為，所以，即。②  （7分）

由①，②及，可得平面   （8分）

（Ⅱ）方法一；

在中，過作于，則，所以平面

在中，過作于，連，則平面，

所以為二面角的平面角   （11分）

在中，求得，

在中，求得，

所以所以。

因此，所求二面角的大小的余弦值為。

方法二：

如圖建立空間直角坐標系 （9分）

則

設平面的法向量為，

則

所以，取，

則  （11分）

又設平面的法向量為，

則

，取，則（13分）

所以，

因此，所求二面角的大小余弦值為。

20．（I）（6分）

   （Ⅱ）

1

2

3

4

5

       （14分）

21．（I）由題意得    （3分）

     解得（5分）

     所以橢圓方程為   （6分）

（Ⅱ）直線方程為，則的坐標為  （7分）

設則，

直線方程為令，得的橫坐標為

①    （10分）

又得得， （12分）

代入①得， （14分）

得，       為常數4   （15分）

22．（I）   （2分）

     由于，故嘗時，，所以，   （4分）

     故函數在上單調遞增。   （5分）

   （Ⅱ）令，得到   （6分）

     的變化情況表如下：   （8分）

0

一

0

+

極小值

      因為函數 有三個零點，所以有三個根，

      有因為當時，，

      所以，故   （10分）

   （Ⅲ）由（Ⅱ）可知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增。

     所以    （11分）

     記則（僅在時取到等號），

     所以遞增，故，

     所以    （13分）

     于是

     故對

     ，所以   （15分）