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設正數數列{a_n} 的前n項和為 S_n，且對任意的n∈N^*，S_n是a_n²和a_n的等差中項．
（1）求數列{a_n} 的通項公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k≤1500中，是否存在正整數m，使得不等式S_n-1005＞

an2

2

對一切滿足n＞m的正整數n都成立？若存在，則這樣的正整數m共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數m的值；若不存在，請說明理由．

（2013•南京二模）設函數f（x）=x²-（a-2）x-alnx．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數有兩個零點，求滿足條件的最小正整數a的值；
（3）若方程f（x）=c有兩個不相等的實數根x₁，x₂，求證：f′(

x1+x2

2

)＞0．

（2008•嘉定區一模）設正數數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整數m，使得不等式Sn-1005＞

a 2 n

2

對一切滿足n＞m的正整數n都成立？若存在，則這樣的正整數m共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數m的值；若不存在，請說明理由；
（3）請構造一個與數列{S_n}有關的數列{u_n}，使得

lim

n→∞

(u1+u2+…+un)存在，并求出這個極限值．