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如圖，橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點是F（1，0），0為坐標原點．
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）點M是直線l：x=4上的動點，以OM為直徑的圓過點N，且NF⊥OM，是否存在一個定點，使得N到該定點的距離為定值？并說明理由．

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如圖，橢圓=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，M、N是橢圓右準線上的兩個動點，且．
（1）設C是以MN為直徑的圓，試判斷原點O與圓C的位置關系；
（2）設橢圓的離心率為，MN的最小值為，求橢圓方程．

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如圖，橢圓=1（a＞b＞0）的一個焦點在直線l：x=1上，離心率e=．設P，Q為橢圓上不同的兩點，且弦PQ的中點T在直線l上，點R（，0）．
（1）求橢圓的方程；
（2）試證：對于所有滿足條件的P，Q，恒有|RP|=|RQ|；
（3）試判斷△PQR能否為等邊三角形？證明你的結論．

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1．D   2．C   3．C   4．D   5．A  6．D   7．B   8．C   9．A   10．B

11.B     12．D

13．      14．       15．  11       16．

17．(本小題滿分12分)

解：（1）

　　又

   （2）

　　又

18．(本小題滿分12分)

解：（1）

    ∴

∴

（2）∵

∴

   最小正周期為

由

得

故的單調遞增區間為

19．（本小題滿分12分）

  解：（1）成等差數列，

  （2）

20、(本小題滿分12分)

（I）解：由得

       ，

   （II）由，

       ∴數列{}是以S₁+1=2為首項，以2為公比的等比數列，

       當n=1時a₁=1滿足

   （III）①

       ，②

       ①－②得，

       則.

21、(本小題滿分12分) （1）證明：

　　（即的對稱軸）

   （2）由（1）.

　　經判斷：極小

　　為0；　　

　　.

22、(本小題滿分12分)

解：(1)由橢圓定義及已知條件知2a=|F₁B|+|F₂B|=10，∴a=5.

又c=4，∴b²=a²-c²=9.

故橢圓方程為+=1.                                                

(2)由點B在橢圓上，可知|F₂B|=|y_B|=，而橢圓的右準線方程為x=，離心率為，

由橢圓定義有|F₂A|=(-x₁)，|F₂C|=(-x₂).

依題意|F₂A|+|F₂C|=2|F₂B|.

則(-x₁)+(-x₂)=2×.

∴x₁+x₂=8.

設弦AC的中點為P(x₀，y₀)，則x₀==4,

即弦AC的中點的橫坐標為4.                                              

(3)由A(x₁,y₁)，C(x₂,y₂)在橢圓上得9x₁²+25y₁²=9×25，9x₂²+25y₂²=9×25.

兩式相減整理得9()+25()()=0(x₁≠x₂).

將=x₀=4，=y₀，=-(k≠0)代入得

9×4+25y₀(-)=0,即k=y₀.

由于P(4,y₀)在弦AC的垂直平分線上，

∴y₀=4k+m,于是m=y₀-4k=y₀-y₀=-y₀.

而-<y₀<，∴-<m<.