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已知橢圓C₁的中心在原點(diǎn)，離心率為

4

5

，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10．過(guò)雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右焦點(diǎn)F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線C₂于M、N兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若雙曲線C₂與橢圓C₁有公共的焦點(diǎn)，且以MN為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)A，求雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C₂的左支有交點(diǎn)，求雙曲線C₂的離心率的取值范圍．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．  A      2． B       3． C       4． A         5．B

6．  D      7． A       8． C       9． D         10．C

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．

11．       12．   13．24     14．

15．168              16．①②③      17．1：（-6）：5：（-8）

三、解答題：本大題共6小題，共74分．

18．解：(Ⅰ)由

                                         ---------4分

由，得

即

則，即為鈍角，故為銳角，且

則

故．                                     ---------8分

(Ⅱ)設(shè)，

由余弦定理得

解得

故．                        ---------14分

19．解：（1）      --------4分

（2）x可能取的所有值有2,3,4                           --------5分

                    --------8分

∴x的分布列為：

∴Ex=                    --------10分

（3）當(dāng)時(shí)，取出的3張卡片上的數(shù)字為1,2,2或1,2,3

當(dāng)取出的卡片上的數(shù)字為1,2,2或1,2,3的概率為，

∴                             --------14分

20．解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，

∴EF⊥平面BDN，

∴平面BDN⊥平面BCEF，

又因?yàn)锽N為平面BDN與平面BCEF的交線，

∴D在平面BCEF上的射影在直線BN上

而D在平面BCEF上的射影在BC上，

∴D在平面BCEF上的射影即為點(diǎn)B，即BD⊥平面BCEF. 　　--------4分

（Ⅱ）法一．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵在原圖中AB=6，∠DAB=60°，

則BN=，DN=，∴折后圖中BD=3，BC=3

∴，

∴

∴

∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為.　　　　　--------９分

法二．在線段BC上取點(diǎn)M，使BM=FN，則MN//BF

∴∠DNM或其補(bǔ)角為DN與BF所成角。

又MN=BF=2，    DM=，。

∴

∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為。

（Ⅲ）∵AD//EF，

∴A到平面BNF的距離等于D到平面BNF的距離，

∴

即所求三棱錐的體積為.　　　　　　　　　　　　　　　--------14分

21．解：(Ⅰ)(?)由已知可得，

則所求橢圓方程.　　　　　　　　　　--------3分

(?)由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則動(dòng)圓圓心軌跡方程為.     --------6分

 (Ⅱ)當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，|MN|=4，

此時(shí)PQ的長(zhǎng)即為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，|PQ|=4，

從而.            --------8分

設(shè)直線的斜率為，則,直線的方程為：

直線PQ的方程為，

設(shè)

由，消去可得

由拋物線定義可知：

 ----10分

由，消去得，

從而，             --------12分

∴

令，

∵k>0，則

則

所以                       --------14分

所以四邊形面積的最小值為8.                    --------15分

22．解：（Ⅰ）

∵為的極值點(diǎn)，∴

∴且

∴.

又當(dāng)時(shí)，，從而為的極值點(diǎn)成立。

                                                  --------4分

（Ⅱ）因?yàn)?sub>在上為增函數(shù)，

所以在上恒成立.    --------6分

若，則，

∴在上為增函數(shù)不成立；

若，由對(duì)恒成立知。

所以對(duì)上恒成立。

令，其對(duì)稱軸為，

因?yàn)?sub>，所以，從而在上為增函數(shù)。

所以只要即可，即

所以

又因?yàn)?sub>，所以．                    --------10分

（Ⅲ）若時(shí)，方程

可得

即在上有解

即求函數(shù)的值域．

法一：

令

由

∵

∴當(dāng)時(shí)，，從而在(0,1)上為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，從而在(1，+∞)上為減函數(shù)。

∴，而可以無(wú)窮小。

∴的取值范圍為.                               --------15分

法二：

當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減；

又，∴令，.

∴當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減；

又當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí), ,則，且

所以的取值范圍為.                              --------15