題目列表(包括答案和解析)
平面
；
的中點為
，求證：
平面
；
的體積．求證：兩條異面直線不能同時和一個平面垂直；
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1． A 2． B 3． C 4． A 5．B
6． D 7． A 8． C 9． D 10．C
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
11． 
12．
13．24
14．
15．168 16．①②③ 17．1：（-6）：5：（-8）
三、解答題：本大題共6小題，共74分．
18．解：(Ⅰ)由
---------4分
由
，得
即
則
，即
為鈍角，故
為銳角，且
則
故
． ---------8分
(Ⅱ)設
，
由余弦定理得
解得
故
．
---------14分
19．解：（1）
--------4分
（2）x可能取的所有值有2,3,4 --------5分
--------8分
∴x的分布列為：
∴Ex=
--------10分
（3）當
時，取出的3張卡片上的數字為1,2,2或1,2,3
當取出的卡片上的數字為1,2,2或1,2,3的概率為
，
∴
--------14分
20．解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，
∴EF⊥平面BDN，
∴平面BDN⊥平面BCEF，
又因為BN為平面BDN與平面BCEF的交線，
∴D在平面BCEF上的射影在直線BN上
而D在平面BCEF上的射影在BC上，
∴D在平面BCEF上的射影即為點B，即BD⊥平面BCEF. --------4分
（Ⅱ）法一．如圖，建立空間直角坐標系，
∵在原圖中AB=6，∠DAB=60°，
則BN=
，DN=
，∴折后圖中BD=3，BC=3
∴
，
∴
∴
∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為
. --------９分
法二．在線段BC上取點M，使BM=FN，則MN//BF
∴∠DNM或其補角為DN與BF所成角。
又MN=BF=2， DM=
，
。
∴
∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為。
（Ⅲ）∵AD//EF，
∴A到平面BNF的距離等于D到平面BNF的距離，
∴
即所求三棱錐的體積為
. --------14分
21．解：(Ⅰ)(?)由已知可得
，
則所求橢圓方程
. --------3分
(?)由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點為
，準線方程為
，則動圓圓心軌跡方程為
. --------6分
(Ⅱ)當直線MN的斜率不存在時，|MN|=4，
此時PQ的長即為橢圓長軸長，|PQ|=4，
從而
.
--------8分
設直線
的斜率為
，則
,直線的方程為：
直線PQ的方程為
，
設
由
，消去
可得
由拋物線定義可知：
----10分
由
，消去得
，
從而
，
--------12分
∴
令
，
∵k>0，則
則
所以
--------14分
所以四邊形
面積的最小值為8.
--------15分
22．解：（Ⅰ）
∵
為
的極值點，∴
∴
且
∴
.
又當時，
，從而
為的極值點成立。
--------4分
（Ⅱ）因為在
上為增函數，
所以
在上恒成立. --------6分
若，則
，
∴在上為增函數不成立；
若
，由
對
恒成立知
。
所以
對
上恒成立。
令
，其對稱軸為
，
因為，所以
，從而
在上為增函數。
所以只要
即可，即
所以
又因為，所以
．
--------10分
（Ⅲ）若
時，方程
可得
即
在
上有解
即求函數
的值域．
法一：
令
由
∵
∴當
時，
，從而
在(0,1)上為增函數；
當時，
，從而在(1，+∞)上為減函數。
∴
，而可以無窮小。
∴
的取值范圍為
.
--------15分
法二：
當
時，
，所以
在上遞增；
當
時，
，所以在上遞減；
又
，∴令
，
.
∴當
時，
，所以
在上遞減；
當
時，
，所以在上遞增；
當時，，所以在上遞減；
又當
時，
，
當
時, 
,則
，且
所以的取值范圍為. --------15
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