題目列表(包括答案和解析)
已知遞增等差數(shù)列
滿足：
，且
成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
；
（2）若不等式
對任意
恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)
的最小值，并證明．
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為
，
由題意可知
，即
，解得d，得到通項(xiàng)公式，第二問中，不等式等價于
，利用當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
；而
，所以猜想，的最小值為
然后加以證明即可。
解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等價于，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
而，所以猜想，的最小值為． …………8分
下證不等式
對任意恒成立．
方法一：數(shù)學(xué)歸納法．
當(dāng)時，
，成立．
假設(shè)當(dāng)
時，不等式
成立，
當(dāng)
時，
，
…………10分
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分
方法二：單調(diào)性證明．
要證
只要證 
，
設(shè)數(shù)列
的通項(xiàng)公式
， …………10分
， …………12分
所以對
，都有
，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值為．
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