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（2013•永州一模）在直角坐標系xoy中，橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，F是拋物線C₂：y²=4x的焦點，C₁與C₂交于M，N兩點（M在第一象限），且|MF|=2．
（1）求點M的坐標及橢圓C₁的方程；
（2）若過點N且斜率為k的直線l交C₁于另一點P，交C₂于另一點Q，且MP⊥MQ，求k的值．

（2008•臨沂二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，F為右焦點，M、N兩點在橢圓C上，且

MF

=λ

FN

（λ＞0）定點A（-4，0）
（I）求證：當λ=1時，有

MN

⊥

AF

；
（Ⅱ）若λ=1時，有

AM

•

AN

=

106

3

，求橢圓C的方程．
（Ⅲ）在（Ⅱ）確定的橢圓C上，當

AM

•

AN

×tan∠MAN的值為6

3

時，求直線MN的方程．

已知拋物線C₁：y=x²，F為拋物線的焦點，橢圓C₂：

x2

2

+

y2

a2

=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF|=

3

4

，求實數a的值；
（2）設直線l：y=kx+1與拋物線C₁交于A，B兩個不同的點，l與橢圓C₂交于P，Q兩個不同點，AB中點為R，PQ中點為S，若O在以RS為直徑的圓上，且k 2＞

1

2

，求實數a的取值范圍．

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點與拋物線C2：y2=4x的焦點F重合，點M是C₁與C₂在第一象限內的交點，且|MF|=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設拋物線的準線與x軸交于點E，過E任作一條直線l，l與橢圓C₁的兩個交點記為A，B．問：在橢圓的長軸上是否存在一點P，使

PA

•

PB

為定值？若存在，求出點P的坐標及相應的定值；若不存在，請說明理由．

（2012•西區模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，F為橢圓的右焦點，M、N兩點在橢圓C上，且

MF

=λ

FN

(λ＞0)，定點A（-4，0）．
（1）求證：當λ=1時，

MN

⊥

AF

；
（2）若當λ=1時，有

AM

•

AN

=

106

3

，求橢圓C的方程．