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在正三角形△ABC中，E，F，P分別是AB，AC，BC邊上的點，滿足：AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1），將△AEF沿EF折成到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連接A₁B，A₁P（如圖2）
（1）求證：A₁E⊥平面BEP；
（2）求二面角B-A₁P-F的余弦值；
（3）求點F到平面A₁BP的距離．

如圖1，在邊長為3的正三角形ABC中，E，F，P分別為AB，AC，
BC上的點，且滿足AE=FC=CP=1．將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連接A₁B，A₁P（如圖2）．
（Ⅰ）求證：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大小．

在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1）．將△AEF、△CFP分別沿EF、PF折起到△A₁EF和△C₁FP的位置，使二面角A₁-EF-B和C₁-PF-B均成直二面角，連結A₁B、A₁P、EC₁（如圖2）
（1）求證：A₁E⊥平面BEP；
（2）設正△ABC的邊長為3，以

EB

，

EF

，

EA

為正交基底，建立空間直角坐標系．
①求點C₁的坐標；
②直線EC₁與平面C₁PF所成角的大小；
③求二面角B-A₁P-F的余弦值．