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設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。                                       

（I）求數列與數列的通項公式；

（II）設數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立？若存在，找出一個正整數；若不存在，請說明理由；

（III）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；

設數列的前項和為，其中，為常數，且、、成等差數列．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）設，問：是否存在，使數列為等比數列？若存在，求出的值；

若不存在，請說明理由．

設數列的前項和為，其中，為常數，且、、成等差數列．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）設，問：是否存在，使數列為等比數列？若存在，求出的值；

若不存在，請說明理由．

設數列的前項和為，且方程有一個根為，．

（1）證明：數列是等差數列；

（2）設方程的另一個根為，數列的前項和為，求的值；

（3）是否存在不同的正整數，使得，，成等比數列，若存在，求出滿足條件的，若不存在，請說明理由．

設數列的前項和為，且滿足

（1）求數列的通項公式；

（2）在數列的每兩項之間都按照如下規則插入一些數后，構成新數列，在兩項之間插入個數，使這個數構成等差數列，求的值；

（3）對于（2）中的數列，若，并求（用表示）．