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(本題滿分12分) 已知函數的定義域為，對于任意正數a、b，都有，其中p是常數，且.，當時，總有.

（1）求（寫成關于p的表達式）；

   （2）判斷上的單調性，并加以證明；

   （3）解關于的不等式 .

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(本題滿分12分) 設數列的前項和為，滿足(N*)，令.

（1）求證：數列為等差數列；   （2）求數列的通項公式.

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(本題滿分12分) 已知函數，.

（1）求函數的值域；

（2）求滿足方程的的值.

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一、       選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

C

C

D

B

B

C

C

B

二、填空題

題號

     11

    12

   13  

  14(1)

  14(2)

答案

   6

  2

  3

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15．解：(Ⅰ)，不等式的解為，

，

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，

，

16、解：

　　　（I）函數的最小正周期是        ……………………………7分

　　　（II）∴　　　∴　　　

　　　　　∴　　　　　　　　　　　　   

　　　　所以的值域為：　　              　…………12分

17、解：（1）因為，，成等差數列，所以2f(2)=f(1)+f(4),

即：2log₂(2+m)=log₂(1+m)+log₂(4+m),即log₂(2+m)²=log₂(1+m)(4+m),得

（2＋m）²=(1+m)(4+m),得m=0.

(2) 若、、是兩兩不相等的正數，且、、依次成等差數列,設a=b-d,c=b+d,(d不為0)；

f(a)+f(c)-2f(b)=log₂(a+m)+log₂(c+m)-2log₂(b+m)=log₂

因為（a+m）(c+m)-(b-m)²=ac+(a+c)m+m²-(b+m)²=b²-d²+2bm+m²-(b+m)²=-d²<0

所以：0<（a+m）(c+m)<(b+m)2,得0<<1,得log₂<0,

所以：f(a)+f(c)<2f(b).

18. 解：（Ⅰ）的定義域關于原點對稱

若為奇函數，則  ∴a=0

（Ⅱ）∴在上∴在上單調遞增

∴在上恒大于0只要大于0即可,∴

若在上恒大于0，a的取值范圍為

19. 解：(Ⅰ)設的公差為，則：，，

∵，，∴，∴．　………………………2分

∴．  …………………………………………4分

（Ⅱ）當時，，由，得．     …………………5分

當時，，，

∴，即．　 …………………………7分

  ∴．　　　……………………………………………………………8分

∴是以為首項，為公比的等比數列．　…………………………………9分

（Ⅲ）由（2）可知：． 　 ……………………………10分

∴．　…………………………………11分

∴．

∴．

∴

．    ………………………………………13分

∴．　　…………………………………………………14分

20．解：（Ⅰ）設函數

   （Ⅱ）由（Ⅰ）可知

可知使恒成立的常數k=8.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知 

可知數列為首項，8為公比的等比數列

即以為首項，8為公比的等比數列. 則