在數(shù)列中， 記

（Ⅰ）求、、、并推測；

（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

【解析】第一問利用遞推關(guān)系可知，、、、，猜想可得

第二問中，①當(dāng)時，=，又，猜想正確

②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，

當(dāng)時，

=

=，即當(dāng)時猜想也成立

兩步驟得到。

（2）①當(dāng)時，=，又，猜想正確

②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，

當(dāng)時，

=

=，即當(dāng)時猜想也成立

由①②可知，對于任何正整數(shù)都有成立

一次圍棋擂臺賽，由一位職業(yè)圍棋高手設(shè)擂做擂主，甲、乙、丙三位業(yè)余圍棋高手攻擂．如果某一業(yè)余棋手獲勝，或者擂主戰(zhàn)勝全部業(yè)余棋手，則比賽結(jié)束．已知甲、乙、丙三人戰(zhàn)勝擂主的概率分別為p₁，p₂，p₃，每人能否戰(zhàn)勝擂主是相互獨(dú)立的．
（1）求這次擂主能成功守擂（即戰(zhàn)勝三位攻擂者）的概率；
（2）若按甲、乙、丙順序攻擂，這次擂臺賽共進(jìn)行了x次比賽，求x得數(shù)學(xué)期望；
（3）假定p₃＜p₂＜p₁＜1，試分析以怎樣的先后順序出場，可使所需出場人員數(shù)的均值（數(shù)學(xué)期望）達(dá)到最小，并證明你的結(jié)論．