如圖，點A在y軸上，點B在x軸上，且OA=OB=1，經過原點O的直線l交線段AB于點C，過C作OC的垂線，與直線x=1相交于點P，現將直線l繞O點旋轉，使交點C從A向B運動，但P點必須在第一象限內，并記AC的長為t，分析此圖后，對下列問題作出探究：
（1）通過動手測量線段OC和CP的長來判斷它們之間的大小關系？并證明你得到的結論；
（2）設點P的坐標為（1，b），試寫出b關于t的函數關系式和變量t的取值范圍。
（3）若題中的“P點必須在第一象限內”改為“P點在直線x=1上”，其他條件不變，求出當△PBC為等腰三角形時點P的坐標。