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已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[

1

e

，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2+alnx，g（x）=（a+1）x（a≠-1），H（x）=f（x）-g（x）．
（1）若函數(shù)f（x）、g（x）在區(qū)間[1，2]上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）α、β是函數(shù)H（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，α＜β，β∈（1，e]（e=2.71828…）．求證：對任意的x₁、x₂∈[α，β]，不等式|H（x₁）-H（x₂）|＜1成立．