題目列表(包括答案和解析)
如圖，在直三棱柱
中，
，
為
中
點.
（1）求證：
；
（2）求證：平面
平面
；
（3）求三棱錐
的體
如圖，在直三棱柱
中，
，
為
的中點.
（I）求證：
平面
；
（II）求平面
和平面
夾角的余弦值.
中，
，
為
的中點，且
， 
時，求證：
； 
為何值時，直線
與平面
所成的角的正弦值為
，并求此時二面角
的余弦值。如圖，在直三棱柱
中，
，
為
的中點.（Ⅰ）求證：
∥平面
；
（Ⅱ）求證：平面
⊥平面
.
如圖，在直三棱柱
中，
，
為
的中點.（Ⅰ）求證：
∥平面
；
（Ⅱ）求證：平面
⊥平面
.
一、
1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．C 9．D 10．A
11．A 12．B
1．由題意知
，解得
或
，故選B．
2．原不等式即為
，化得
，解得
．故選A．
3．由條件
．對上
，所以
又
，所以
．故選D．
4．設
到
的角為
的斜率
的斜率
，
則
，于是
．故選D．
5．由
解得
，即其反函數為
，又在原函數中由
得
，即其反函數中
．故選C．
6．不等式組化得 
或
平面區域如圖所示，陰影部分面積：
，故選B．
7．由已知得
，而
．故選A．
8．
．故選c．
9．令
，則
，即
的圖象關于（0，0）點對稱，將的圖象向下平移6個單位．得題中函數的圖象，則它的對稱中心為（0，
）．故選D．
10．
．故選A．
11．由條件得：
，則
得
，所以
．故選A．
12．由已知正三棱柱的高為球的直徑，底面正三角形的內切圓是球的大圓．設底面正三角形的邊長為
，球半徑為
，則
，又
，解得
，則
，于是
．故選B．
二、
13．
與
平行，
，解得
即
14．設數列
的公比為
，則
，兩式相除，得
，則
．
所以
．
15．由題意知，直線
是拋物線
的準線，而
到的距離等于到焦點
的距離．即求點到點
的距離與到點
的距離和的最小值，就是點與點的距離，為
．
16．一方面．由條件，
，得
，故②正確．
另一方面，如圖，在正方體
中，把
、
分別記作、
，平面
、平面
、平面
分別記作
、
、
，就可以否定①與③．
三、
17．解：
，且
，即
又
．
由正弦定理
又
即
的取值范圍是區間
．
18．解：（1）設甲、乙兩人通過測試的事件分別為、
，則
，
、相互獨立，∴甲、乙兩人中只有1人通過測試的概率
．
（2）甲答對題數
的所有可能值為
∴甲答對題數的數學期望為
．
19．解：（1）由已知
，∴數列
的公比
，首項
又數列
中，
的公差
，首項
（
時也成立）
∴數列、
的通項公式依次為
．
（2）記
當
時，
和
都是增函數
即時，
是增函數
當
4時，
；
又
時
或，∴不存在
，使
．
20．（1）證明；在直三棱柱
中，
面
又
面
，而
面
，
∴平面
平面
（2）解：取
中點
，連接
交
于點，則
．
與平面所成角的大小等于與平面所成角的大小，取
中點
，連接
、
，則等腰三角形
中，
．
又由（1）得
面
．
面
為直線與面所成的角
又
，
∴直線與平面所成的角為
．
（注：本題也可以能過建立空間直角坐標系解答）
21．解：（1）設橢圓方程為
，雙曲線方程為
，半焦距
由已知得
，解得
，則
故橢圓及雙曲線方程分別為
及
．
（2）由向量的數量積公式知，
表示向量
與
夾角的余弦值，設
，即求
的值．
由余弦定理得
①
由橢圓定義得 
②
由雙曲線定義得
③
式②+式③得
，式②一式③
得
將它們代人式①得
，解得
，
所以
．
22，解：（1）由
得
要使在（0，1]上恒為單調函數，只需
或
在（0，1]上恒成立．
∴只需
或
在（0，1]上恒成立
記
或
（2）
，
∴由
得
化簡得
時有
，即
，
則
①
構造函數
，則
在
處取得極大值，也是最大值．
在
范圍內恒成立，而
從而
在范圍內恒成立．
∴在
時，
而
時，
，∴當
時，
恒成立
即時，總有
②
由式①和式②可知，實數的取值范圍是
．
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