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已知函數，其中a是實數．設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數圖象上的兩點，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）指出函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，證明：x₂-x₁≥1；
（Ⅲ）若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

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1．B       2．A      3．C      4．B       5．A      6．D      7．B       8．C      9．C      1 0．B

11．B     12．D

1．．

2．

3．是方程的根，或8，又，

       ．

4．．

5．畫出可行域，如圖，可看為區域內的點與（0，0）連線的斜率，．

       ．

6．

7．在中，，在中，，

在中，，在中，，．

8．的圖象如圖所示

       的解集為．

9．由知點的軌跡是以，為焦點的雙曲線一支．，．

10．由獨立重復試驗的概率．

11．設，圓為最長弦為直徑，最短弦的中點為，

12．幾何體的表面積是三個圓心角為、半徑為1的扇形面積與半徑為1的球面積的之和，即表面積為．

二、

13．平方得

       ．

14．的系數

15．1．與互為反函數，

       令，

       ．

16．0或       ，設點的橫坐標為點處的切線斜率為，由夾角公式得，即

若，得，矛盾

若

或．

三、

17．（1），由，得，消去得

              ．

              ．

（2）

       ，

       ．

       時，的最大值為時，的最大值為2．

18．（1）從3種服裝商品、2種家電商品，4種日用商品中，選出3種商品，一共有種不同的選法．選出的3種商品中，沒有日用商品的選法有種。所以選出的3種商品至少有一種日用商品的概率為．

（2）假設商場將中獎獎金數額定為元，則顧客在三歡抽獎中所獲得的獎金總額是一個隨機變量，其所有可能的取值為

于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是

．

要使促銷方案對商場有利，因此應有，．

故商場應將中獎獎金數額最高定為120元．才能使促銷方案對自己有利．

19．（1）證明：．

連接．

，又

              即        平面．

（2）方法1  取的中點，的中點，為的中點，或其補角是與所成的角．

           ∴連接是斜邊上的中線，，

              ．

              在中，由余弦定理得，

           ∴直線與所成的角為．

（3）方法l

       平面，過作于，連接,

              是在平面上的射影，由三垂線定理得．

              是二面角的平面角，

              ，又．

在中，，．

∴二面角為．

（2）方法2

建立空間直角坐標系．

則

．

．

∴直線與所成的角為．

（3）方法2

在坐標系中，平面的法向量．

設平面的法向量，則，

求得，

∴二面角為．

20．是首項為、公比為的等比數列，

（1）當時，

       兩式相減得

       ．

（2）

當時，，，對，，而，

時，成立，即．

當時，．

對遞增，時，

時，對成立，即，

綜上得，的取值范圍是．

21．（1）設．

由拋物線定義，，

．

在上，，又

         或舍去．

∴橢圓的方程為．

       （2）∵直線的方程為為菱形，

              ，設直線的方程為

              、在橢圓上，

              ．

              設，則．

              ．

的中點坐標為，由為菱形可知，點在直線上，

           ∴直線的方程為，即．

22．（1），切線的議程為，即.

              令得，令得，

              ，

              ．

       （2）由及得，即．

              于是

              當且僅當，即時，等號成立．

              時，時，．

       （3）

              由得

              當，即時，，

              當，即時，

              時，取得最小值，最小值為．

              由，得，此時，最小值為．