題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
說明：
一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.
二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分50分.
1. B 2. C 3. B 4.C 5.D 6.A 7. B 8. A 9. C 10. C
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分20分.
11. 1 12. 
13.
2 14. 
15.
①③
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 本題主要考查三角函數的倍角公式、兩角和公式等基本知識，考查學生的運算求解能
力. 滿分13分.
解：（Ⅰ）因為
，
兩邊同時平方得
.
………………………………………（4分）
又
，
所以
.
………………………………………（6分）
（Ⅱ）因為，
，
所以
，得
.
又
,知
. …………………（9分）
. ………………………………………（13分）
17. 本題主要考查線線位置關系，二面角的求法等基本知識，考查空間想像能力，運算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.
解：（Ⅰ）證明：連結
，
側棱
底面ABC，
，又
.
平面
.
又
平面，
. ………（3分）
，
四邊形為正方形，
.
， 
平面
.
又
平面，
. …………（6分）
（Ⅱ）
.
平面
.
又
， 
.
如圖，以
為原點，建立空間直角坐標系-xyz，設AP=x，則
、
、
、
.
知面
的一個法向量為
， ……（9分）
設面
的一個法向量為
，
，
.
由
得
令
， 
………（11分）
依題意：
=
解得
（不合題意，舍去），
時，二面角
的大小為
. …………（13分）
18．本題主要考查數列與不等式等基本知識，考查運用數學知識分析問題與解決問題的能力，
考查應用意識. 滿分13分.
解：設第一年（今年）的汽車總量為
，第n年的汽車總量為
，則
，
…
.
數列
構成的首項為80000，公差為2000的等差數列，
. ………………………（4分）
若洗車行A從今年開始經過n年可以收回購買凈化設備的成本. 則（
）
-20000n≥900000，………………………（8分）
整理得，
因為
，所以 
.
答：至少要經過6年才能收回成本. …………………………………………（13分）
19．本題主要考查直線與拋物線的位置關系、等比數列求和等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力. 滿分13分
解：（Ⅰ）依題意得：
，解得
.
所以拋物線方程為
. ………………………………………………（3分）
（Ⅱ）若
，即直線AB垂直于x軸，不防設
，
由
又由拋物線對稱性可得：
.
又
，得 
，故S△ABD=
. …………………………（4分）
若
，設直線AB方程：
，
由方程組
消去
得：
.（※）
依題意可知：
.
由已知得
，
. ……………………………………（5分）
由
，得
，
即
，整理得
.
所以
. …………………………………………（6分）
中點
，
所以點
，
依題意知
.
又因為方程（※）中判別式
，得
.
所以
，又
，
所以
.
又
為常數，故
的面積為定值. …………………………………（9分）
（Ⅲ）依題意得：
…，
.
故
…
＜
. ………………………………（13分）
注：本題第（Ⅱ）問另解，參照本標準給分；第（Ⅲ）問若用定積分證明，同樣給分.
20. 本題主要考查函數的單調性、極值、最值、不等式等基本知識，考查運用導數研究函數
性質的方法，考查分類與整合及化歸與轉化等數學思想. 滿分14分.
解：（Ⅰ）依題意，知
的定義域為
.
當
時，
，
.
令
，解得
.
當
時，
；當
時，
.
又
，
所以的極小值為
，無極大值 . …………………………（3分）
（Ⅱ）
.
令，解得
. …………………………（4分）
若
，令，得；令，得 .
若
，
①當
時，
，
令，得
或；
令，得
.
②當
時，
.
③當
時，得
，
令，得或
；
令，得
.
綜上所述，當時，的遞減區間為
，遞增區間為
.
當
時，的遞減區間為
；遞增區間為
.
當時，遞減區間為.當時，的遞減區間為
，遞增區間為
. …………………………（9分）
（Ⅲ）當
時，
，
由
，知
時，
. 
，
.
依題意得：
對一切正整數成立. ……………（11分）
令
，則
（當且僅當
時取等號）.
又
在區間
單調遞增，得
，
故
，又
為正整數，得
，
當
時，存在
，
，
對所有
滿足條件.
所以，正整數的最大值為32. …………………………………（14分）
21. （1）本題主要考查矩陣乘法與變換等基本知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思
想. 滿分7分.
解：PQ＝
，
PQ矩陣表示的變換T：
滿足條件
.
所以
………………………（3分）
直線
任取點
，則點
在直線
上，
故
，又，得
所以
………………………………………（7分）
（2）本題主要考查直線極坐標方程和橢圓參數方程等基本知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想. 滿分7分.
解：由題意知直線和橢圓方程可化為：
， ①
． ② …………………………（２分）
①②聯立，消去
得：
，解得
，
．
設直線與橢圓交于A、B兩點，則
．
故所求的弦長為
． &n
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