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已知函數，.

（Ⅰ）若函數依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實數，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數的最大值.

【解析】第一問中利用導數在在處取到極值點可知導數為零可以解得方程有三個不同的實數根來分析求解。

第二問中，利用存在實數，使對任意的，不等式 恒成立轉化為，恒成立，分離參數法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉化為存在實數，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設，則.

設，則，因為，有.

故在區間上是減函數。又

故存在，使得.

當時，有，當時，有.

從而在區間上遞增，在區間上遞減.

又[來源:]

所以當時，恒有；當時，恒有；

故使命題成立的正整數m的最大值為5

 

已知函數．（）

（1）若在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）若在區間上，函數的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍．

【解析】第一問中，首先利用在區間上單調遞增，則在區間上恒成立，然后分離參數法得到，進而得到范圍；第二問中，在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立．然后求解得到。

解：（1）在區間上單調遞增，

則在區間上恒成立．  …………3分

即，而當時，，故． …………5分

所以．                 …………6分

（2）令，定義域為．

在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立．   

∵        …………9分

① 若，令，得極值點，，

當，即時，在（，+∞)上有，此時在區間上是增函數，并且在該區間上有，不合題意；

當，即時，同理可知，在區間上遞增，

有，也不合題意；                     …………11分

② 若，則有，此時在區間上恒有，從而在區間上是減函數；

要使在此區間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是．        …………13分

綜合①②可知，當時，函數的圖象恒在直線下方．

 

已知函數，

(1)設常數，若在區間上是增函數，求的取值范圍；

(2)設集合，，若,求的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了三角函數的性質的運用以及集合關系的運用。

第一問中利用

利用函數的單調性得到，參數的取值范圍。

第二問中，由于解得參數m的取值范圍。

(1)由已知

又因為常數，若在區間上是增函數故參數 

 (2)因為集合，，若

 

某省環保研究所對市中心每天環境放射性污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合放射性污染指數與時刻(時) 的關系為，其中是與氣象有關的參數，且．

（1）令, ，寫出該函數的單調區間，并選擇其中一種情形進行證明；

（2）若用每天的最大值作為當天的綜合放射性污染指數，并記作，求；

（3）省政府規定，每天的綜合放射性污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數是否超標？

【解析】第一問利用定義法求證單調性，并判定結論。

第二問（2）由函數的單調性知，

∴，即t的取值范圍是． 

當時，記

則 

∵在上單調遞減，在上單調遞增，

第三問因為當且僅當時，.

故當時不超標，當時超標．