題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分13分) 已知二項式
（1）求其展開式中第四項的二項式系數；
（2）求其展開式中第四項的系數 。
(本小題滿分13分)某廠用甲、乙兩種產品，已知生產1噸A產品，1噸B產品分別需要的甲乙原料數、可獲得的利潤及該廠現有原料數如表：
產品 所需原料 | A產品（t） | B產品（t） | 現有原料(t) |
甲（t） | 2 | 1 | 14 |
乙（t） | 1 | 3 | 18 |
利潤（萬元） | 5 | 3 |
|
(1)在現有原料下，A、B產品應各生產多少才能使利潤最大？
(2)如果1噸B產品的利潤增加到20萬元，原來的最優解為何改變？
(3)如果1噸B產品的利潤減少1萬元，原來的最優解為何改變？
(4)1噸B產品的利潤在什么范圍，原最優解才不會改變？
(本小題滿分13分)
某市物價局調查了某種治療H1
N1流感的常規藥品在2009年每個月的批發價格和該藥品在藥店的銷售價格，調查發現，該藥品的批發價格按月份以12元/盒為中心價隨某一正弦曲線上下波動，且3月份的批發價格最高為14元/盒，7月份的批發價格最低為10元/盒.該藥品在藥店的銷售價格按月份以14元/盒為中心價隨另一正弦曲線上下波動，且5月份的銷售價格最高為16元/盒，9月份的銷售價格最低為12元/盒.
（Ⅰ）求該藥品每盒的批發價格f(x)和銷售價格g(x)關于月份
的函數解析式；
（Ⅱ）假設某藥店每月初都購進這種藥品p 盒，且當月售完，求該藥店在2009年哪些月份是盈利的？說明你的理由.
(本小題滿分13分) 根據長沙市建設大河西的規劃，市旅游局擬在咸嘉湖建立西湖生態文化公園. 如圖，設計方案中利用湖中半島上建一條長為
的觀光帶AB，同時建一條連接觀光帶和湖岸的長為2的觀光游廊BC，且BC與湖岸MN（湖岸可看作是直線）的夾角為60°，BA與BC的夾角為150°，并在湖岸上的D處建一個觀光亭，設CD＝xkm(1＜x＜4).
（Ⅰ）用x分別表示tan∠BDC和tan∠ADM；
（Ⅱ）試確定觀光亭D的位置，使得在觀光亭D處觀賞
觀光帶AB的視覺效果最佳.
(本小題滿分13分)
已知橢圓的焦點為F1(－4，0)，F2(4，0)，過點F2且垂直于
軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|BF1|＋|BF2|＝10，設點A，C為橢圓上不同兩點，使得|AF2|，|BF2|，|CF2|成等差數列.
(Ⅰ) 求橢圓的標準方程；
(Ⅱ) 求線段AC的中點的橫坐標；
（Ⅲ）求線段AC的垂直平分線在y軸上的截距
的取值范圍.
一、選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
D
A
B
C
D
C
a
二 填空題：
11：f－1(x)＝lnx－1 (x>0). 12：-30
13：
14：1
15：①②④;
三、解答題
16．
………………………………………………… 2分
⑴當
時，
，………………………………… 3分
則
，…………………………………… 5分
∴
＝｛x│3≤x≤5｝………………………………………… 7分
⑵∵，
，
∴有
，解得
，…………………………… 10分
此時
，符合題意．………………………… 12分
17．解：⑴∴
=(sinα,1)共線
∴sinα+cosα=
………………………………… 2分
故sin2α=-
從而(sinα-cosα)2=1-sin2α=
……………………… 4分
∴α∈(-
)∴sinα<0，cosα>0
∴sinα-cosα=-
……………………………………………6分
⑵∵
=2cos2α=1+cos2α…9分
又cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=
∴原式=1+
…………………………………………………… 12分
18.
解：⑴
....................................2分
又
也滿足上式，
（
）
數列
是公比為2，首項為
的等比數列...........4分
...........................6分
⑵
.................9分
于是
...................12分
19．⑴設
…………………………2分
…………4分
⑵由⑴，得
…………6分
（i）當
…………8分
（ii）
…………10分
（iii）當
…………12分
綜上所述，
………………………………13分
20．解：⑴令
………………………… 1分
……………………………………… 2分
當－2＜x≤0時 g’‘（x）≤0；當x＞0時，g‘（x）＞0…………………… 3分
∴g（x）在（－2，0
上遞減，在（0，+∞）上遞增……………………… 4分
則x=0時 g（x）min=g（0）=0 g（x）≥g（x）min=0 ………………… 5分
即fn（x）≥nx ……………… 6分
⑵∵
即
…………… 7分
易得x0＞0 …………………………… 9分
而
由⑴知x＞0時（1+x）n＞1+nx 故2n+1=（1+1）n+1＞n+2 ∴x0＜1… 12分
綜上0＜x0＜1 ……………………………… 13分
21．解：⑴由已知，當n=1時，a
,∵a1>0,∴a1=1. ………… 1分
當n≥2時，
…+
①
…+
②
由①―②得，a
……………………………………………3分
∵an>0, ∴a
=2Sn-1+an，即a=2Sn-an，
當n=1時，∴a1=1適合上式，
∴a
………………………………………………………5分
⑵由⑴知，a
,即a=2Sn-an(n∈
)③
當n≥2時，a
=2Sn-1-an-1
④
由③―④得，
a
=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1……………………………7分
∵an+an-1>0,∴an-an-1=1,數列{an}是等差數列，首項為1，公差為1，
可得an=n. …………………………………………………………………9分
(3)∵an=n,∴bn=3n+(-1)n-1λ?
=3n+(-1)n-1λ?2n, …………………10分
要使bn+1> bn恒成立，
bn+1-bn=3n+1+(-1)nλ?2n+1-[3n+(-1)n-1λ?2n]
=2?3n-3λ(-1)n-1?2n>0恒成立
則（-1）n-1?λ<(
)n-1恒成立…………………………………………11分
當n為奇數時，即為λ<()n-1恒成立
又()n-1的最小值為1， ∴λ<1
當n為偶數時，即為λ>-()n-1恒成立
又-()n-1最大值為- ∴λ>-……………………………12分
∴-<λ<1，又λ≠0，∴λ=-1 ∴λ=-1，使得對任意n∈，都有bn+1>bn……………13分
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