題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）如圖，平面
平面
，四邊形
為矩形，△為等邊三角形．
為
的中點(diǎn)，
．
（1）求證：
；
（2）求二面角
的正切值．
（本小題滿分14分）如圖，已知矩形
中，
，
，將矩形沿對(duì)角線
把△
折起，使
移到
點(diǎn)，且在平面
上的射影
恰好在
上．
（1）求證：
；
（2）求證：平面
平面
；
（3）求三棱錐
的體積．
（本小題滿分14分）如圖，四棱錐
中，
平面
，四邊形是矩形，
，
分別是
，
的中點(diǎn)．若
，
。
（1）求證：
平面
；
（2）求直線
平面所成角的正弦值。
（本小題滿分14分）如圖幾何體，
是矩形，
，
，
為
上的點(diǎn)，且
．
（1）求證：
；
（2）求證：
．
（本小題滿分14分）
如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求證：AE∥平面BFD.
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．）
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
選項(xiàng)
C
A
C
B
D
B
B
A
二、填空題（共7小題，計(jì)30分。其中第9、10、11、12小題必做；第13、14、15題選做兩題，若3題全做，按前兩題得分計(jì)算。）
9、 4 10、__10__（用數(shù)字作答）．11、__＿＿。12、___0___。
13、 ；14、___8_____．15、 3 。
三、解答題（考生若有不同解法，請(qǐng)酌情給分！）
16.解：（1）…………2分
……………………………………3分
………………………………………………5分
（2）…………………………7分
…………………………………9分
………………………………………10分
故
∴當(dāng)………………………………12分
17．解：⑴、記甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)為事件，那么，即甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率是．……………………4分
⑵、記甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件，
那么，…………………………………………………………6分
所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是．………8分
⑶、隨機(jī)變量可能取的值為1，2．事件“”是指有兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)，則
．所以，
的分布列是：…………………………………………………………………… 10分
1
2
∴…………………………………………………………12分
18．
解：設(shè)2008年末汽車保有量為a1萬(wàn)輛，以后各年末汽車保有量依次為a2萬(wàn)輛，a3萬(wàn)輛，…，每年新增汽車x萬(wàn)輛。………………………………………………………………1分
a1＝30，a2＝a1×0.94＋x，a3＝a2×0.94＋x＝a1×0.942＋x×0.94＋x，…
故an＝a1×0.94n-1＋x（1＋0．94＋…＋0．94n-2）
．………………………………………………6分
(1):當(dāng)x=3萬(wàn)輛時(shí)，an≤30
則每年新增汽車數(shù)量控制在3萬(wàn)輛時(shí)，汽車保有量能達(dá)到要求。……………9分
(2):如果要求汽車保有量不超過60萬(wàn)輛，即an≤60（n＝1，2，3，…）
則，
即．
對(duì)于任意正整數(shù)n，
因此，如果要求汽車保有量不超過60萬(wàn)輛，x≤3．6（萬(wàn)輛）．………………13分
答：若每年新增汽車數(shù)量控制在3萬(wàn)輛時(shí)，汽車保有量能達(dá)到要求；每年新增汽車不應(yīng)超過3．6萬(wàn)輛，則汽車保有量定能達(dá)到要求。………………………………………14分
19．解：（1）…………………………………………………………2分
由己知有實(shí)數(shù)解，∴，故…………………5分
（2）由題意是方程的一個(gè)根，設(shè)另一根為
則，∴……………………………………………………7分
∴，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，有極大值，又，，
即當(dāng)時(shí)，的量大值為 ………………………10分
∵對(duì)時(shí)，恒成立，∴，
∴或………………………………………………………………13分
故的取值范圍是 ………………………………………14分
20．解：（1）作MP∥AB交BC于點(diǎn)P，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，
∴MN=PQ.由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴AC=BF=， .
即CP=BQ=.
∴MN=PQ=
（0＜a＜）.…………………………………5分
（2）由（Ⅰ），MN=，所以，當(dāng)a=時(shí)，MN=.
即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小值為.………8分
（3）取MN的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G為MN的中點(diǎn)
∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角α的平面角，………………………11分
又AG=BG=，所以，由余弦定理有cosα=.
故所求二面角的余弦值為－.………………………………………………………14分
（注：本題也可用空間向量，解答過程略）
21．解：⑴、對(duì)任意的正數(shù)均有且．
又
，…………………………………………………4分
又是定義在上的單增函數(shù)，．
當(dāng)時(shí)，，．，．
當(dāng)時(shí)，，
．，
為等差數(shù)列，，． ……………………………6分
⑵、假設(shè)存在滿足條件，即
對(duì)一切恒成立．
令，
，………………………10分
故，………………………12分
，單調(diào)遞增，，．
．……………………………………………………………14分
（考生若有不同解法，請(qǐng)酌情給分！）
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