題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)
某甲有一個(gè)放有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、1個(gè)黃球共6個(gè)球的箱子;某乙也有一個(gè)放有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、1個(gè)黃球共6個(gè)球的箱子.
(Ⅰ)若甲在自己的箱子里任意取球,取后不放回,每次只取一個(gè)球,直到取到紅球?yàn)橹梗蠹兹∏虼螖?shù)的數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)若甲、乙兩人各從自己的箱子里任取一球比顏色,規(guī)定同色時(shí)為甲勝,異色時(shí)為乙勝,這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎?請說明理由.
(本小題滿分12分)
計(jì)算機(jī)考試分理論考試與上機(jī)操作考試兩部分進(jìn)行,每部分考試成績只記“合格”與“不合格”,兩部分考試都“合格”則計(jì)算機(jī)考試“合格”并頒發(fā)“合格證書”.甲、乙、丙三人在理論考試中合格的概率分別為,
,
;在上機(jī)操作考試中合格的概率分別為
,
,
.所有考試是否合格相互之間沒有影響.
(Ⅰ)甲、乙、丙三人在同一次計(jì)算機(jī)考試中誰獲得“合格證書”可能性最大?
(Ⅱ)求這三人計(jì)算機(jī)考試都獲得“合格證書”的概率;
(Ⅲ)用表示甲、乙、丙三人在理論考核中合格人數(shù),求
的分布列和數(shù)學(xué)期望
.
(本小題滿分12分)甲有一個(gè)裝有個(gè)紅球、
個(gè)黑球的箱子,乙有一個(gè)裝有
個(gè)紅球、
個(gè)黑球的箱子,兩人各自從自己的箱子里任取一球,并約定:所取兩球同色時(shí)甲勝,異色時(shí)乙勝(
,
,
,
).
(Ⅰ)當(dāng),時(shí),求甲獲勝的概率;
(Ⅱ)當(dāng),
時(shí),規(guī)定:甲取紅球獲勝得3分;取黑球獲勝得1分;甲負(fù)得0分.求甲的得分期望達(dá)到最大時(shí)的
,
值;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎?請說明理由.
(本小題滿分12分)
甲、乙兩家網(wǎng)絡(luò)公司,1993年的市場占有率均為A,根據(jù)市場分析與預(yù)測,甲、乙公司自1993年起逐年的市場占有率都有所增加,甲公司自1993年起逐年的市場占有率都比前一年多,乙公司自1993年起逐年的市場占有率如圖所示:
(I)求甲、乙公司第n年市場占有率的表達(dá)式;
(II)根據(jù)甲、乙兩家公司所在地的市場規(guī)律,如果某公司的市場占有率不足另一公司市場占有率的20%,則該公司將被另一公司兼并,經(jīng)計(jì)算,2012年之前,不會出現(xiàn)兼并局面,試問2012年是否會出現(xiàn)兼并局面,并說明理由.
(本小題滿分12分)
2010年廣東亞運(yùn)會,某運(yùn)動項(xiàng)目設(shè)置了難度不同的甲、乙兩個(gè)系列,每個(gè)系列都有K
和D兩個(gè)動作,比賽時(shí)每位運(yùn)動員自選一個(gè)系列完成,兩個(gè)動作得分之和為該運(yùn)動員
的成績。假設(shè)每個(gè)運(yùn)動員完成每個(gè)系列中的兩個(gè)動作的得分是相互獨(dú)立的,根據(jù)賽前
訓(xùn)練統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),某運(yùn)動員完成甲系列和乙系列的情況如下表:
甲系列:
動作 |
K |
D |
||
得分 |
100 |
80 |
40 |
10 |
概率 |
|
|
|
|
乙系列:
動作 |
K |
D |
||
得分 |
90 |
50 |
20 |
0 |
概率 |
|
|
|
|
現(xiàn)該運(yùn)動員最后一個(gè)出場,其之前運(yùn)動員的最高得分為118分。
(1)若該運(yùn)動員希望獲得該項(xiàng)目的第一名,應(yīng)選擇哪個(gè)系列,說明理由,并求其獲得第一名的概率;
(2)若該運(yùn)動員選擇乙系列,求其成績X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX.
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
理
A
C
B
D
A
C
B
C
C
B
B
D
文
D
C
B
D
B
C
B
C
C
B
A
D
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分
13.(理)2 (文) 14.(理) (文)243 15. 16.(1,2)(2,3)
三、解答題:本大題共6小題,共70分.
17.解: ????????????????????????????????????????????????????????? (2分)
由正弦定理得???????????????????????????????????????????? (4分)
??????????????????????????????????????????????????????????????? (5分)
??????????????????????????????????????????????? (6分)
???????????????????????????????????????????????????? (8分)
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (9分)
????????????????????????????????????????????????????????????????? (10分)
18.(理)解:????????????????????????????????????????? (2分)
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (4分)
????????????????????????????????????????? (6分)
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (8分)
由此可知,,從而兩廠材料的抗拉強(qiáng)度指數(shù)平均水平相同,但甲廠材料相對穩(wěn)定,該選甲廠的材料。??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (12分)
(文)解:記“甲第次試跳成功“為事件,“乙第次試跳成功”為事件,依題意得且相互獨(dú)立?????????????????????????????????????????????????????????????? (2分)
(I)“甲第三次試跳才成功”為事件,且三次試跳相互獨(dú)立,
。
答:甲第三次試跳才成功的概率為0.063????????????????????????????????????????? (6分)
(Ⅱ)“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件,
解法一:且彼此互斥,
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (8分)
????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (12分)
解法二:
答:甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88
19.(I)證明:由直三棱柱性質(zhì)知
又
???? …………………………………(理4分文6分)
(Ⅱ)以A為原點(diǎn),分別為
軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系
直線
連結(jié)易知是平面的一個(gè)法向量,
=(0,1,-1),設(shè)為平面
的一個(gè)法向量,則
又
令得得
設(shè)二面角的大小為,則
二面角的大小為…………………………(理8分文12分)
(Ⅲ)又
點(diǎn)到平面的距離………………………(理12分)
20.(理)解:(I)
當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增
???????????????????????????????????? (2分)
??????????????????????????????? (4分)
?????????????????????????????????????????????????? (6分)
(Ⅱ)令
??????????? (7分)
??????????? (10分)
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (12分)
(文)解:(I)因?yàn)檫吽谥本的方程為
…………………………………(1分)
…………………………(4分)
(Ⅱ)由??????????????????????????? (5分)
????????????????????????????????????????????????? (6分)
???????????????????????????? (8分)
(Ⅲ)因?yàn)閯訄A過點(diǎn),所以是該圓的半徑,又因?yàn)閯訄A與圓外切,
所以,
即
故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長為的雙曲線的左支。
因?yàn)閷?shí)半軸長半焦距
所以虛半軸長
從而動圓的圓心的軌跡方程為????????????????????????? (12分)
21.(理)
解法一:(I)如圖,設(shè)把代入得
,由韋達(dá)定理得???????????????????????? (2分)
點(diǎn)的坐標(biāo)為???????????????????????????????? (3分)
設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為
將代入上式得
(Ⅱ)
由(I)知
???????????????????? (9分)
??????????????????? (11分)
?????????????????????????????????????????????????????????????????? (12分)
解法二:(I)設(shè)
??????????????????????? (2分)
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (4分)
????????????????????? (6分)
(Ⅱ)
由(I)知
則
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (10分)
??????????????????????????????????????????????????????????????????? (12分)
(文)解:(I)
?????????????????????????????????????????????????????????? (3分)
由于,故當(dāng)時(shí)達(dá)到其最小值,即
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (6分)
(Ⅱ)
列表如下:
+
0
-
0
+
極大值
極小值
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (10分)
由此可見,在區(qū)間和單調(diào)增加,在區(qū)間單調(diào)減小,
極小值為極大值為?????????????????????????????????????????????? (12分)
22. 解:
(I)????????????????????????????????????????????????? (2分)
(Ⅱ)由(I)知
……
???????????????????????????????????????????? (5分)
????????????????????????????????????????????????????????? (8分)
(文)(Ⅲ)
???????????????????????????????????????????????????????? (12分)
(理)(Ⅲ)
?????????????????????????????????? (12分)
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