題目列表(包括答案和解析)
已知函數
的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）求
在區間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當
時，
，令
得
，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設
，則
，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當時，，令得
當
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當
時, 
.當
時, 
,最大值為0；
當
時, 在
上單調遞增。∴在最大值為
。
綜上，當
時，即
時，在區間上的最大值為2；
當
時，即
時，在區間上的最大值為。
（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設，則，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
已知a>0且a≠1，則兩函數f(x)＝ax和g(x)＝loga的圖象只可能是( )
已知a>0且a≠1，則兩函數f(x)＝ax和g(x)＝loga
的圖象只可能是 ( )
已知a>0且a≠1，則兩函數f(x)＝ax和g(x)＝loga的圖象只可能是 ( )
一、選擇題
DDDCC CDAAB
二、填空題
11、
12、
13、
14、17 0 15、②③
三、解答題
16、⑴
17、（1）
，其定義域為
.
令
得
.……………………………………………………2′
當
時，
當
時，
故當且僅當
時，
. 6′
（2）
由（1）知
≤
,
≥
…………………………9′
又
故
…………………………………………12′′18、（1）符合二項分布
0
1
2
3
4
5
6
……6′
（2）可取15，16，18.
表示勝5場負1場，
；………………………………7′
表示勝5場平1場，
；………………………………8′
表示6場全勝，
.……………………………………………9′
∴
.………………………………………………………………12（
19、解：（1）以
所在直線為軸，以
所在直線為
軸，以
所在直線為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可知
、
、
………2′
令
的坐標為
， 
而
，
是
與
的公垂線…………………………………………………………4′
（2）令面
的法向量
而
，
令
，則
，即
而面
的法向量
……6′ ∴二面角
的大小為
.……8′
（3）
面
的法向量為
到面
的距離為
即
到面的距離為
.…………12′
20、解：（1）假設存在
，使
，則
，同理可得
，以此類推有
，這與
矛盾。則不存在，使.……3分
（2）∵當
時，
又
，，則
∴
與
相反，而
，則
.以此類推有：
，
；……7分
(3)∵當時，，，則
∴
…9分
∴
（）……10分
∴
.……12分
21、解（1）設
則
①
②
①－②得
……………………2′
直線
的方程是
整理得
………………4′
（2）聯立
解得
設
則
且
的方程為
與
聯立消去，整理得
………………………………6′
又
…………………………………………8′
（3）直線
的方程為
，代入，得
即
………………………………………………10′
三點共線，
三點共線，且在拋物線的內部。
令
為
、
為
故由
可推得
而
同理可得：
而得
………………………………14′
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單調遞減