題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
已知四棱錐
的三視圖如圖所示，
為正三角形．
（Ⅰ）在平面
中作一條與底面
平行的直線,并說明理由；
（Ⅱ）求證：
平面
；
（Ⅲ）求三棱錐
的高．
（本小題滿分12分）已知四棱錐
的底面是邊長為2的菱形，且
．
（Ⅰ）若O是AC與BD的交點，求證：
平面
；
（Ⅱ）若點
是
的中點，求異面直線
與
所成角的余弦值．
（本小題滿分12分）
已知四棱錐的底面是矩形，側棱長相等，棱錐的高為4，其俯視圖如圖所示.
（1）作出此四棱錐的主視圖和側視圖，并在圖中標出相關的數據；
（2）求該四棱錐的側面積
．
的直觀圖和三視圖如圖所示，
是
的中點.
是
上任一點，求證：
；
,
交于點
，求直線
與平面
所成角的正弦值.
（本小題滿分12分）
已知四棱錐
的底面為直角梯形，
，
，
底面
，且
，
是
的中點．
（1）求
與所成角的余弦值；
（2）求平面
與平面APD所夾角的余弦值．
一、
1．C 2．D 3．B 4．D 5．D 6．B 7．D 8．A 9．A 10．C
11．D 12．A
1～11．略
12．解：，
在是減函數，由，得，，故選A．
二、
13．0．8 14． 15． 16．①③
三、
17．解：（1）
的單調遞增區間為
（2）
18．解：（1）當時，有種坐法，
，即，
或舍去．
（2）的可能取值是0，2，3，4
又
的概率分布列為
0
2
3
4
則．
19．解：（1）時，，
又 ，
是一個以2為首項，8為公比的等比數列
（2）
最小正整數．
20．解法一：
（1）設交于點
平面．
作于點，連接，則由三垂線定理知：是二面角的平面角．
由已知得，
，
∴二面角的大小的60°．
（2）當是中點時，有平面．
證明：取的中點，連接、，則，
，故平面即平面．
又平面，
平面．
解法二：由已知條件，以為原點，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則
（1），
，設平面的一個法向量為，
則取
設平面的一個法向量為，則取．
二面角的大小為60°．
（2）令，則，
，
由已知，，要使平面，只需，即
則有，得當是中點時，有平面．
21．解：（1）由條件得，所以橢圓方程是．
（2）易知直線斜率存在，令
由
由，
即得
，
即
得
將代入
有
22．解：（1）
在上為減函數，時，恒成立，
即恒成立，設，則
時，在（0，）上遞減速，
．
（2）若即有極大值又有極小值，則首先必需有兩個不同正要，，
即有兩個不同正根
令
∴當時，有兩個不同正根
不妨設，由知，
時，時，時，
∴當時，既有極大值又有極小值．
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