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綜上:當時..即, 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

函數是定義在上的奇函數,且

(1)求實數a,b,并確定函數的解析式;

(2)判斷在(-1,1)上的單調性,并用定義證明你的結論;

(3)寫出的單調減區間,并判斷有無最大值或最小值?如有,寫出最大值或最小值。(本小問不需要說明理由)

【解析】本試題主要考查了函數的解析式和奇偶性和單調性的綜合運用。第一問中,利用函數是定義在上的奇函數,且

解得

(2)中,利用單調性的定義,作差變形判定可得單調遞增函數。

(3)中,由2知,單調減區間為,并由此得到當,x=-1時,,當x=1時,

解:(1)是奇函數,

………………2分

,又

(2)任取,且

,………………6分

在(-1,1)上是增函數。…………………………………………8分

(3)單調減區間為…………………………………………10分

當,x=-1時,,當x=1時,

 

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已知函數.(

(1)若在區間上單調遞增,求實數的取值范圍;

(2)若在區間上,函數的圖象恒在曲線下方,求的取值范圍.

【解析】第一問中,首先利用在區間上單調遞增,則在區間上恒成立,然后分離參數法得到,進而得到范圍;第二問中,在區間上,函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立.然后求解得到。

解:(1)在區間上單調遞增,

在區間上恒成立.  …………3分

,而當時,,故. …………5分

所以.                 …………6分

(2)令,定義域為

在區間上,函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立.   

        …………9分

① 若,令,得極值點

,即時,在(,+∞)上有,此時在區間上是增函數,并且在該區間上有,不合題意;

,即時,同理可知,在區間上遞增,

,也不合題意;                     …………11分

② 若,則有,此時在區間上恒有,從而在區間上是減函數;

要使在此區間上恒成立,只須滿足

由此求得的范圍是.        …………13分

綜合①②可知,當時,函數的圖象恒在直線下方.

 

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已知,(其中

⑴求

⑵試比較的大小,并說明理由.

【解析】第一問中取,則;                         …………1分

對等式兩邊求導,得

,則得到結論

第二問中,要比較的大小,即比較:的大小,歸納猜想可得結論當時,

時,

時,

猜想:當時,運用數學歸納法證明即可。

解:⑴取,則;                         …………1分

對等式兩邊求導,得

,則。       …………4分

⑵要比較的大小,即比較:的大小,

時,

時,

時,;                              …………6分

猜想:當時,,下面用數學歸納法證明:

由上述過程可知,時結論成立,

假設當時結論成立,即

時,

時結論也成立,

∴當時,成立。                          …………11分

綜上得,當時,

時,

時, 

 

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已知函數

(Ⅰ)求函數的單調遞減區間;

(Ⅱ)令函數),求函數的最大值的表達式

【解析】第一問中利用令,

第二問中,=

=

= ,則借助于二次函數分類討論得到最值。

(Ⅰ)解:令,

的單調遞減區間為:…………………4

(Ⅱ)解:=

=

=

 ,則……………………4

對稱軸

①   當時,=……………1

②  當時,=……………1

③  當時,   ……………1

綜上:

 

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已知函數的最小值為0,其中

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若對任意的成立,求實數的最小值;

(Ⅲ)證明).

【解析】(1)解: 的定義域為

,得

當x變化時,的變化情況如下表:

x

-

0

+

極小值

因此,處取得最小值,故由題意,所以

(2)解:當時,取,有,故時不合題意.當時,令,即

,得

①當時,上恒成立。因此上單調遞減.從而對于任意的,總有,即上恒成立,故符合題意.

②當時,,對于,故上單調遞增.因此當取時,,即不成立.

不合題意.

綜上,k的最小值為.

(3)證明:當n=1時,不等式左邊==右邊,所以不等式成立.

時,

                      

                      

在(2)中取,得

從而

所以有

     

     

     

     

      

綜上,

 

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