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所以.數列為單調遞減數列. ----8分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知遞增等差數列滿足:,且成等比數列.

(1)求數列的通項公式;

(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數的最小值,并證明.

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中,利用設數列公差為

由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當時,;當時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。

解:(1)設數列公差為,由題意可知,即,

解得(舍去).      …………3分

所以,.        …………6分

(2)不等式等價于

時,;當時,;

,所以猜想,的最小值為.     …………8分

下證不等式對任意恒成立.

方法一:數學歸納法.

時,,成立.

假設當時,不等式成立,

時,, …………10分

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,只要證 

只要證  ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分

方法二:單調性證明.

要證 

只要證  ,  

設數列的通項公式,        …………10分

,    …………12分

所以對,都有,可知數列為單調遞減數列.

,所以恒成立,

的最小值為

 

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