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綜上所述,當時, , 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數

 (1) 若函數上單調,求的值;

(2)若函數在區間上的最大值是,求的取值范圍.

【解析】第一問,

,

第二問中,

由(1)知: 當時, 上單調遞增  滿足條件當時,

解: (1) ……3分

, …………….7分

(2)

由(1)知: 當時, 上單調遞增

  滿足條件…………..10分

時,  

…………13分

綜上所述:

 

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已知函數f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函數f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

單調遞減;當單調遞增,故當時,取最小值

于是對一切恒成立,當且僅當.        ①

時,單調遞增;當時,單調遞減.

故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.

綜上所述,的取值集合為.

(Ⅱ)由題意知,

,則.當時,單調遞減;當時,單調遞增.故當

從而

所以因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線,所以存在使成立.

【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設存在的情況下進行推理,然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題,通過構造函數,研究這個函數的性質進行分析判斷.

 

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設函數

(1)當時,求曲線處的切線方程;

(2)當時,求的極大值和極小值;

(3)若函數在區間上是增函數,求實數的取值范圍.

【解析】(1)中,先利用,表示出點的斜率值這樣可以得到切線方程。(2)中,當,再令,利用導數的正負確定單調性,進而得到極值。(3)中,利用函數在給定區間遞增,說明了在區間導數恒大于等于零,分離參數求解范圍的思想。

解:(1)當……2分

   

為所求切線方程。………………4分

(2)當

………………6分

遞減,在(3,+)遞增

的極大值為…………8分

(3)

①若上單調遞增。∴滿足要求。…10分

②若

恒成立,

恒成立,即a>0……………11分

時,不合題意。綜上所述,實數的取值范圍是

 

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已知函數處取得極值2.

⑴ 求函數的解析式;

⑵ 若函數在區間上是單調函數,求實數m的取值范圍;

【解析】第一問中利用導數

又f(x)在x=1處取得極值2,所以

所以

第二問中,

因為,又f(x)的定義域是R,所以由,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調遞增,在上單調遞減,當f(x)在區間(m,2m+1)上單調遞增,則有,得

解:⑴ 求導,又f(x)在x=1處取得極值2,所以,即,所以…………6分

⑵ 因為,又f(x)的定義域是R,所以由,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調遞增,在上單調遞減,當f(x)在區間(m,2m+1)上單調遞增,則有,得,                …………9分

當f(x)在區間(m,2m+1)上單調遞減,則有 

                                                …………12分

.綜上所述,當時,f(x)在(m,2m+1)上單調遞增,當時,f(x)在(m,2m+1)上單調遞減;則實數m的取值范圍是

 

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已知冪函數滿足

(1)求實數k的值,并寫出相應的函數的解析式;

(2)對于(1)中的函數,試判斷是否存在正數m,使函數,在區間上的最大值為5。若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由。

【解析】本試題主要考查了函數的解析式的求解和函數的最值的運用。第一問中利用,冪函數滿足,得到

因為,所以k=0,或k=1,故解析式為

(2)由(1)知,,因此拋物線開口向下,對稱軸方程為:,結合二次函數的對稱軸,和開口求解最大值為5.,得到

(1)對于冪函數滿足

因此,解得,………………3分

因為,所以k=0,或k=1,當k=0時,

當k=1時,,綜上所述,k的值為0或1,。………………6分

(2)函數,………………7分

由此要求,因此拋物線開口向下,對稱軸方程為:

時,,因為在區間上的最大值為5,

所以,或…………………………………………10分

解得滿足題意

 

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