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若,即時, 在區間單調遞減. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數.(

(1)若在區間上單調遞增,求實數的取值范圍;

(2)若在區間上,函數的圖象恒在曲線下方,求的取值范圍.

【解析】第一問中,首先利用在區間上單調遞增,則在區間上恒成立,然后分離參數法得到,進而得到范圍;第二問中,在區間上,函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立.然后求解得到。

解:(1)在區間上單調遞增,

在區間上恒成立.  …………3分

,而當時,,故. …………5分

所以.                 …………6分

(2)令,定義域為

在區間上,函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立.   

        …………9分

① 若,令,得極值點

,即時,在(,+∞)上有,此時在區間上是增函數,并且在該區間上有,不合題意;

,即時,同理可知,在區間上遞增,

,也不合題意;                     …………11分

② 若,則有,此時在區間上恒有,從而在區間上是減函數;

要使在此區間上恒成立,只須滿足

由此求得的范圍是.        …………13分

綜合①②可知,當時,函數的圖象恒在直線下方.

 

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設函數

(1)當時,求曲線處的切線方程;

(2)當時,求的極大值和極小值;

(3)若函數在區間上是增函數,求實數的取值范圍.

【解析】(1)中,先利用,表示出點的斜率值這樣可以得到切線方程。(2)中,當,再令,利用導數的正負確定單調性,進而得到極值。(3)中,利用函數在給定區間遞增,說明了在區間導數恒大于等于零,分離參數求解范圍的思想。

解:(1)當……2分

   

為所求切線方程。………………4分

(2)當

………………6分

遞減,在(3,+)遞增

的極大值為…………8分

(3)

①若上單調遞增。∴滿足要求。…10分

②若

恒成立,

恒成立,即a>0……………11分

時,不合題意。綜上所述,實數的取值范圍是

 

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已知函數,(),

(1)若曲線與曲線在它們的交點(1,c)處具有公共切線,求a,b的值

(2)當時,若函數在區間[k,2]上的最大值為28,求k的取值范圍

【解析】(1) 

∵曲線與曲線在它們的交點(1,c)處具有公共切線

(2)當時,

,則,令為單調遞增區間,為單調遞減區間,其中F(-3)=28為極大值,所以如果區間[k,2]最大值為28,即區間包含極大值點,所以

【考點定位】此題應該說是導數題目中較為常規的類型題目,考查的切線,單調性,極值以及最值問題都是課本中要求的重點內容,也是學生掌握比較好的知識點,在題目中能夠發現F(-3)=28,和分析出區間[k,2]包含極大值點,比較重要

 

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設函數

(Ⅰ) 當時,求的單調區間;

(Ⅱ) 若上的最大值為,求的值.

【解析】第一問中利用函數的定義域為(0,2),.

當a=1時,所以的單調遞增區間為(0,),單調遞減區間為(,2);

第二問中,利用當時, >0, 即上單調遞增,故上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.

解:函數的定義域為(0,2),.

(1)當時,所以的單調遞增區間為(0,),單調遞減區間為(,2);

(2)當時, >0, 即上單調遞增,故上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.

 

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已知函數

(Ⅰ)求函數的單調區間;

(Ⅱ)設,若對任意,不等式 恒成立,求實數的取值范圍.

【解析】第一問利用的定義域是     

由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,

故函數的單調遞增區間是(1,3);單調遞減區間是

第二問中,若對任意不等式恒成立,問題等價于只需研究最值即可。

解: (I)的定義域是     ......1分

              ............. 2分

由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,

故函數的單調遞增區間是(1,3);單調遞減區間是     ........4分

(II)若對任意不等式恒成立,

問題等價于,                   .........5分

由(I)可知,在上,x=1是函數極小值點,這個極小值是唯一的極值點,

故也是最小值點,所以;            ............6分

當b<1時,

時,

當b>2時,;             ............8分

問題等價于 ........11分

解得b<1 或 或    即,所以實數b的取值范圍是 

 

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