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⑵由題意得橢圓的方程為.其離心率為.此時. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知中心在坐標原點,焦點在軸上的橢圓C;其長軸長等于4,離心率為

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;

(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且?若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,直線與橢圓的位置關系的運用。

第一問中,可設橢圓的標準方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標準方程為

第二問中,

假設存在這樣的直線,設,MN的中點為

 因為|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

,得,

,得

代入1,2式中得到范圍。

(Ⅰ) 可設橢圓的標準方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標準方程為

 (Ⅱ) 假設存在這樣的直線,設,MN的中點為

 因為|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

,得,

,得……②  ……………………9分

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是

 

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已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓的離心率為,且經過點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)是否存過點(2,1)的直線與橢圓相交于不同的兩點,滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.

【解析】第一問利用設橢圓的方程為,由題意得

解得

第二問若存在直線滿足條件的方程為,代入橢圓的方程得

因為直線與橢圓相交于不同的兩點,設兩點的坐標分別為

所以

所以.解得。

解:⑴設橢圓的方程為,由題意得

解得,故橢圓的方程為.……………………4分

⑵若存在直線滿足條件的方程為,代入橢圓的方程得

因為直線與橢圓相交于不同的兩點,設兩點的坐標分別為

所以

所以

因為,即

所以

所以,解得

因為A,B為不同的兩點,所以k=1/2.

于是存在直線L1滿足條件,其方程為y=1/2x

 

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