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解答：（1）證明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ACB=∠ACD=30°，
∴AB=AD=

1

2

AC，
∴AB+AD=AC．

（2）解：成立．
證法一：如圖，過點C分別作AM，AN的垂線，垂足分別為E，F，
∵AC平分∠MAN，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
∵∠CED=∠CFB=90°，
∴△CED≌△CFB，
∴ED=FB，
∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE，由（1）知AF+AE=AC，
∴AB+AD=AC，
證法二：如圖，在AN上截取AG=AC，連接CG，
∵∠CAB=60°，AG=AC，∴∠AGC=60°，CG=AC=AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，
∴∠CBG=∠ADC，
∴△CBG≌△CDA，
∴BG=AD，
∴AB+AD=AB+BG=AG=AC；

（3）證明：由（2）知，ED=BF，AE=AF，
在Rt△AFC中，cos∠CAF=

AF

AC

，
即cos

α

2

=

AF

AC

，
∴AF=ACcos

α

2

，
∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE=2AF=2cos

α

2

AC．
把α=60°，代入得AB+AD=

3

AC．

點評：本題綜合考查了角平分線的性質，解直角三角形，以及由特殊到一般的情況．