題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分）
已知數列
滿足：
，
（I）求
得值；
（II）設
求證：數列
是等比數列，并求出其通項公式；
（III）對任意的
，在數列中是否存在連續的
項構成等差數列？若存在，寫出這項，并證
明這項構成等差數列；若不存在，說明理由.
（本小題滿分13分）
已知數列
滿足：
，
（I）求
得值；
（II）設
，試求數列
的通項公式；
（III）對任意的正整數
，試討論
與
的大小關系.
（本小題滿分13分）已知數列
滿足
（Ⅰ）求
；（Ⅱ）已知存在實數
，使
為公差為
的等差數列，求的值；
（Ⅲ）記
，數列
的前
項和為
，求證：
.
（本小題滿分13分）
已知數列
滿足：
，
求
得值；
設
，試求數列
的通項公式；
（III） 對任意的正整數
，試討論
與
的大小關系。
（本小題滿分13分）
已知數列
}滿足：
（I）令
為等差數列；
（II）求
武漢市教育科學研究院命制 2009.4.16
一、選擇題
1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．A 9．B 10．D
二、填空題
11．7 12．（2，3） 13． 14． 15．
三、解答題
16．解：（1）由
由知：，于是可知
得.………………………………………………………（6分）
（2）由及
而在上單調遞增
可知滿足：時單調遞增
于是在定義域上的單調遞增區間為.………………（12分）
17．解：（1）摸球3次就停止，說明前三次分別都摸到了紅球，
則……………………………………………………………（5分）
（2）隨機變量的取值為0，1，2，3.
則，
，
.
隨機變量的分布列是
0
1
2
3
P
的數學期望為：
.………………………（12分）
18．解：（1）在四棱錐中，底面，則
若，則和面內相交的兩直線均垂直
面，故.
在底面的平行四邊形中，令
在中，.
于是
在中，由可知：
求得或
依題意，于是有.……………………………………………（6分）
（2）過點作，連結
.
又，面
面
由三垂線定理知：為所求二面角的平面角
過點
易知
又
在中
故所求二面角的大小為45.………………………………………………（12分）
19．解：（1）
故軌跡為以A、B為焦點的雙曲線的右支.
設其方程為：
.
故軌跡方程為.…………………………………………（6分）
（2）由
方程有兩個正根.
設，由條件知.
而
即
整理得，即
由（1）知，即顯然成立.
由（2）、（3）知
而.
.
故的取值范圍為……………………（13分）
20．解：（1）由，
求導數得到：
，故在有唯一的極值點
，且知
故上有兩個不等實根需滿足：
故所求m的取值范圍為.………………………………………（6分）
（2）又有兩個實根
則
兩式相減得到：
于是
，故
要證：，只需證：
只需證：
令，則
只需證明：在上恒成立.
又則
于是由可知.故知
上為增函數，則
從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證.……………
……………………………………………………………（13分）
21．解：（1）經過計算可知：
.
求得.…………………………………………（4分）
（2）由條件可知：.…………①
類似地有：.…………②
①-②有：.
即：.
因此：
即：故
所以：.…………………………………………（8分）
（3）假設存在正數，使得數列的每一項均為整數.
則由（2）可知：…………③
由，及可知.
當時，為整數，利用，結合③式，反復遞推，可知，，，，…均為整數.
當時，③變為………④
我們用數學歸納法證明為偶數，為整數
時，結論顯然成立，假設時結論成立，這時為偶數，為整數，故為偶數，為整數，所以時，命題成立.
故數列是整數列.
綜上所述，的取值集合是.………………………………………（13分）
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