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(本小題滿分12分)
一個袋子內裝有若干個黑球，個白球，個紅球（所有的球除顏色外其它均相同），從中任取個球，每取得一個黑球得分，每取一個白球得分，每取一個紅球得分，已知得分的概率為，用隨機變量X表示取個球的總得分.
（Ⅰ）求袋子內黑球的個數；
（Ⅱ）求X的分布列.

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武漢市教育科學研究院命制                                             2009.4.16

一、選擇題

1．B       2．C       3．D      4．A      5．B       6．C       7．A      8．A      9．B       10．D

二、填空題

11．7             12．（2，3）         13．          14．        15．

三、解答題

16．解：（1）由

由知：，于是可知

得.………………………………………………………（6分）

（2）由及

而在上單調遞增

可知滿足：時單調遞增

于是在定義域上的單調遞增區間為.………………（12分）

17．解：（1）摸球3次就停止，說明前三次分別都摸到了紅球，

則……………………………………………………………（5分）

（2）隨機變量的取值為0，1，2，3.

則，

，

.

隨機變量的分布列是

0

1

2

3

P

的數學期望為：

.………………………（12分）

18．解：（1）在四棱錐中，底面，則

若，則和面內相交的兩直線均垂直

面，故.

在底面的平行四邊形中，令

在中，.

于是

在中，由可知：

求得或

依題意，于是有.……………………………………………（6分）

（2）過點作，連結

.

又，面

面

由三垂線定理知：為所求二面角的平面角

過點

易知

又

在中

故所求二面角的大小為45.………………………………………………（12分）

19．解：（1）

故軌跡為以A、B為焦點的雙曲線的右支.

設其方程為：

.

故軌跡方程為.…………………………………………（6分）

（2）由

方程有兩個正根.

設，由條件知.

而

即

整理得，即

由（1）知，即顯然成立.

由（2）、（3）知

而.

.

故的取值范圍為……………………（13分）

20．解：（1）由，

求導數得到：

，故在有唯一的極值點

，且知

故上有兩個不等實根需滿足：

故所求m的取值范圍為.………………………………………（6分）

（2）又有兩個實根

則

兩式相減得到：

于是

，故

要證：，只需證：

只需證：

令，則

只需證明：在上恒成立.

又則

于是由可知.故知

上為增函數，則

從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證.……………

……………………………………………………………（13分）

21．解：（1）經過計算可知：

.

求得.…………………………………………（4分）

（2）由條件可知：.…………①

類似地有：.…………②

①-②有：.

即：.

因此：

即：故

所以：.…………………………………………（8分）

（3）假設存在正數，使得數列的每一項均為整數.

則由（2）可知：…………③

由，及可知.

當時，為整數，利用，結合③式，反復遞推，可知，，，，…均為整數.

當時，③變為………④

我們用數學歸納法證明為偶數，為整數

時，結論顯然成立，假設時結論成立，這時為偶數，為整數，故為偶數，為整數，所以時，命題成立.

故數列是整數列.

綜上所述，的取值集合是.………………………………………（13分）