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某科研小組對熱能與電能的轉化和燃煤每分鐘的添加量之間的關系進行科學研究，在對某發電廠A號機組的跟蹤調研中發現：若該機組每分鐘燃煤的添加量設計標準為a噸，在正常狀態下，通過自動傳輸帶給該機組每分鐘添加燃煤x噸，理論上可以共生產電能x³-x+10千瓦，而由于實際添加量x與設計標準a存在誤差，實際上會導致電能損耗2|x-a|千瓦，最后實際產生的電能為f（x）千瓦．
（1）試寫出f（x）關于x的函數表達式；當0＜a＜1時，求f（x）的極大值．
（2）該科研小組決定調整設計標準a，控制添加量x，實現對最終生產的電能f（x）的有效控制的科學實驗，若某次實驗中（單位：噸），用電高峰期間，要求該廠的輸出電能為每分鐘不得低于9千瓦，否則供電不正常．試問這次實驗能否實現這個目標？請說明理由．

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武漢市教育科學研究院命制                                             2009.4.16

一、選擇題

1．B       2．C       3．D      4．A      5．B       6．C       7．A      8．A      9．B       10．D

二、填空題

11．7             12．（2，3）         13．          14．        15．

三、解答題

16．解：（1）由

由知：，于是可知

得.………………………………………………………（6分）

（2）由及

而在上單調遞增

可知滿足：時單調遞增

于是在定義域上的單調遞增區間為.………………（12分）

17．解：（1）摸球3次就停止，說明前三次分別都摸到了紅球，

則……………………………………………………………（5分）

（2）隨機變量的取值為0，1，2，3.

則，

，

.

隨機變量的分布列是

0

1

2

3

P

的數學期望為：

.………………………（12分）

18．解：（1）在四棱錐中，底面，則

若，則和面內相交的兩直線均垂直

面，故.

在底面的平行四邊形中，令

在中，.

于是

在中，由可知：

求得或

依題意，于是有.……………………………………………（6分）

（2）過點作，連結

.

又，面

面

由三垂線定理知：為所求二面角的平面角

過點

易知

又

在中

故所求二面角的大小為45.………………………………………………（12分）

19．解：（1）

故軌跡為以A、B為焦點的雙曲線的右支.

設其方程為：

.

故軌跡方程為.…………………………………………（6分）

（2）由

方程有兩個正根.

設，由條件知.

而

即

整理得，即

由（1）知，即顯然成立.

由（2）、（3）知

而.

.

故的取值范圍為……………………（13分）

20．解：（1）由，

求導數得到：

，故在有唯一的極值點

，且知

故上有兩個不等實根需滿足：

故所求m的取值范圍為.………………………………………（6分）

（2）又有兩個實根

則

兩式相減得到：

于是

，故

要證：，只需證：

只需證：

令，則

只需證明：在上恒成立.

又則

于是由可知.故知

上為增函數，則

從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證.……………

……………………………………………………………（13分）

21．解：（1）經過計算可知：

.

求得.…………………………………………（4分）

（2）由條件可知：.…………①

類似地有：.…………②

①-②有：.

即：.

因此：

即：故

所以：.…………………………………………（8分）

（3）假設存在正數，使得數列的每一項均為整數.

則由（2）可知：…………③

由，及可知.

當時，為整數，利用，結合③式，反復遞推，可知，，，，…均為整數.

當時，③變為………④

我們用數學歸納法證明為偶數，為整數

時，結論顯然成立，假設時結論成立，這時為偶數，為整數，故為偶數，為整數，所以時，命題成立.

故數列是整數列.

綜上所述，的取值集合是.………………………………………（13分）