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已知，函數

（1）當時，求函數在點(1，)的切線方程；

(2)求函數在[－1，1]的極值；

(3)若在上至少存在一個實數x₀，使>g(x_o)成立，求正實數的取值范圍。

【解析】本試題中導數在研究函數中的運用。（1）中，那么當時，  又    所以函數在點(1，)的切線方程為；（2）中令   有 

對a分類討論，和得到極值。（3）中，設，，依題意，只需那么可以解得。

解：（Ⅰ）∵  ∴

∴  當時，  又    

∴  函數在點(1，)的切線方程為 --------4分

（Ⅱ）令   有 

①         當即時

故的極大值是，極小值是

②         當即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無極小值。 

綜上所述   時，極大值為，無極小值

時  極大值是，極小值是        ----------8分

（Ⅲ）設，

對求導，得

∵，    

∴ 在區間上為增函數，則

依題意，只需，即 

解得  或（舍去）

則正實數的取值范圍是（，）

如圖，F是定直線l外的一個定點，C是l上的動點，有下列結論：若以C為圓心，CF為半徑的圓與l交于A、B兩點，過A、B分別作l的垂線與圓

C過F的切線交于點P和點Q，則P、Q必在以F為焦點，l為準線的同一條拋物線上.

（Ⅰ）建立適當的坐標系，求出該拋物線的方程；

（Ⅱ）對以上結論的反向思考可以得到另一個命題：

“若過拋物線焦點F的直線與拋物線交于P、Q兩點，

則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準線l相切”請

問：此命題是否正確？試證明你的判斷；

（Ⅲ）請選擇橢圓或雙曲線之一類比（Ⅱ）寫出相應的命題并

證明其真假.（只選擇一種曲線解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為評分依據）