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給出下列命題：
①“sinα＞sinβ”是“α＞β”的既不充分又不必要條件；
②若f（x）在某區間M上為增函數，則對于該區間上的任意x，總有f′（x）＞0；
③設空間任意一點O和不共線三點A、B、C，若點P滿足向量關系

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，則P、A、B、C四點共面；
④若取值為x₁，x₂，x₃…x_n的頻率分別為p₁，p₂，p₃…p_n，則其平均數為

n

i=1

xipi．
其中所有真命題的序號是

①④

①④

．

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給出下列命題：
①“sinα＞sinβ”是“α＞β”的既不充分又不必要條件；
②若f（x）在某區間M上為增函數，則對于該區間上的任意x，總有f′（x）＞0；
③設空間任意一點O和不共線三點A、B、C，若點P滿足向量關系

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，則P、A、B、C四點共面；
④若取值為x₁，x₂，x₃…x_n的頻率分別為p₁，p₂，p₃…p_n，則其平均數為

n

i=1

xipi．
其中所有真命題的序號是______．

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一、選擇題：

1.A 2.B 3.C 4.C 5.D 6.A 7.D 8.C 9.D 10.D 11.A 12.B

二、填空題：

13．14   14．2   15．30   16．①③

17. -1    18. －5   19．  -1-    20.     

21． 4    22．    23．10   24．412    25．①④

三、解答題：

26解：（1），

由，有，

解得。                                      

（2）解法一：    

。 

解法二：由（1），，得

∴   

∴                                       

于是，

代入得。          

27證明：（1）∵

∴                                        

（2）令中點為，中點為，連結、

∵是的中位線

∴         

又∵

∴

∴   

∴

∵為正

∴        

∴

又∵，

∴四邊形為平行四邊形   

∴

∴ 

28解：（1）設米，，則

∵

∴

∴                                               

∴

∴                                       

∴

∴或                                           

（2）                 

 此時                                            

（3）∵

令，                         

∵

當時，

∴在上遞增                    

∴

此時                                             

答：（1）或

（2）當的長度是4米時，矩形的面積最小，最小面積為24平方米；

（3）當的長度是6米時，矩形的面積最小，最小面積為27平方米。                            

29解：（1）①若直線的斜率不存在，即直線是，符合題意。 

②若直線斜率存在，設直線為，即。

由題意知，圓心以已知直線的距離等于半徑2，即：，

解之得                                           

所求直線方程是，                          

（2）解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為

由得                  

又直線與垂直，由得

∴

為定值。

故是定值，且為6。                          

30解：（1）由題意得，                            

∴，    ∴   

∴，∴在是

單調增函數，                                         

∴對于恒成立。    

（3）       方程；  

（4）       ∴ 

 ∵，∴方程為               

 令，，

 ∵，當時，，

∴在上為增函數；

 時，， 

∴在上為減函數，  

 當時，                    

，            

∴函數、在同一坐標系的大致圖象如圖所示，

∴①當，即時，方程無解。

②當，即時，方程有一個根。

③當，即時，方程有兩個根